高等数学教案 第一章函数与极限 第六节 极限存在准则 两个重要极限 教学内容：极限存在准则，两个重要极限 教学目标：1.通过本节课的教学，使学生掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。 2.通过本节课的教学，使学生熟练掌握两个重要极限及其应用。 教学重点：两个重要极限 教学难点：极限存在准则 教学方法：新课讲授法 作 业：p561,2. 教学过程： 准则1 如果数列{xn、yn}及{zn}满足下列条件： (1yn≤xn≤(n=l,2,3,·), (2)lim yn=a,lim zn=a, 月→0 那么数列{xn}的极限存在，且l1imxn=a。 月》0 证明：因为1imy,=a,limz=a,以根据数列极限的定义，Ve>0,N1>0,当心N1时，有 yw-a水e;又3N2>0,当>N2时，有z一dke.现取N=max{N,N2,则当>N时，有 byw-d水E,上n-ake 同时成立，即 a-8ynN时，有 a-yn≤rn≤2n0,N>0,当>N时，有 yn-ake及n-dk
高等数学教案 第一章函数与极限 即有a-yn0 x 证明 首先注意到，函数snx对于一切0都有定义.参看附图：图中的圆为单位圆， BCLOA,PALOA..圆心角∠AOB=r(0c<受)，.显然sin=CB,=AB,an=AD.因为 SMOB<S娲形AOB<S△4OD, 所以 B D 即sinx<x<tanx. 不等号各边都除以sinx,就有 1<x<1 sinx cosx 或cosr<sinx<1. 注意此不等式当-子<0时也成立.而mcsx=-l,根据准侧上mnx1. 2
高等数学教案 第一章函数与极限 简要证明：参看附图，设圆心角∠A0B=x(00x 解：lim tan=-lim sin.,1=lim sinx.lim1=l. 0x0xCOSx0x0 COSx 例2.求1im1-cosx x-0x2 2sin2 sin2x 解：lim 21,. 2 x-+0x2 、2 sin =im 12= 2x0 x-2 sin 准则Ⅱ单调有界数列必有极限 如果数列x}满足条件 x1≤x2≤x3≤·≤xm≤x+1≤， 就称数列{x}是单调增加的；如果数列{xm}满足条件 x2x22x32·≥xm2x+12, 就称数列{xm}是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列 如果数列{xn}满足条件xm≤xn+1,n∈N, 在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛.现在 3
高等数学教案 第一章函数与极限 准则Ⅱ表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数 列一定收敛 准则Ⅱ的几何解释： 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点 A,而对有界数列只可能后者情况发生 根据准则L,可以证明极限imQ+y存在. 设x,=Q+”,现证明数列{xn}是单调有界的. 按牛顿二项公式，有 -0r+-0-2品+-20-” 一十 1!n 2!n2 000+ .11、,1 x1=+1+z 1 n+1 比较xn,x1的展开式，可以看出除前两项外，xn的每一项都小于x的对应项，并且x 还多了最后一项，其值大于0，因此 Xn<xm-l, 这就是说数列{xn}是单调有界的， 这个数列同时还是有界的.因为x的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得 1 1- 111 11 1 <1+l+2…1+1+22+… 2=1+ 2n =3 2m3 根据准则Ⅱ，数列{xn}必有极限.这个极限我们用e来表示.即 im+分r=e。 我们还可以证明lim+)少r=e.e是个无理数，它的值是 K-oo e=2.718281828459045. 指数函数y=e以及对数函数=lnx中的底e就是这个常数. 在极限lim[1+a(x)]am中，只要a(x)是无穷小，就有
高等数学教案 第一章函数与极限 lim[1+a(x)]a(=e. 这是因为，令”= a则a→0，于是iml+a(ja而=lim+y=e lim(1+=e,lim[1+a(x)]=e(a(x)0). 例3.求1ima-马). 解：令t仁-x,则xo时，t0.于是 中 或m0-r=m+=m+小=1. r-o