高等数学教案 第一章函数与极限 第十节！ 闭区间上连续函数的性质 教学内容：最大值与最小值定理，有界性定理，零点定理和介值定理 教学目标：通过本节的教学，理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：闭区间上连续函数的性质 教学难点：闭区间上连续函数的性质 教学方法：新课讲授法 作 业：无 教学过程： 一、最大值与最小值 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数x),如果有xo∈L,使得对于任一x∈/都有 fx)xo)(x)≥xo), 则称x)是函数x)在区间I上的最大值（最小值）. 例如，函数x)=1+sinx在区间[0,2网上有最大值2和最小值0.又如，函数x)=sgx在区间 (-0,+∞)内有最大值1和最小值-1.在开区间(0，+0)内，sgmx的最大值和最小值都是1.但 函数x)=x在开区间(a,b)内既无最大值又无最小值， 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和 最小值， 定理1说明，如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，那么至少有一点5∈[a,b],使(5)是x)在 [a,b]上的最大值，又至少有一点52∈[a,b],使5)是x)在[a,b]上的最小值. 注意：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一 定有最大值或最小值， 例：在开区间(a,b)考察函数y=x. 又如，如图所示的函数在闭区间[0,2]上无最大值和最小值. -x+10≤x<1 y=f(x)= 1 x=1 -x+3 1<x≤2 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明： 1
高等数学教案 第一章函数与极限 二、介值定理 零点：如果xo使x)=0,则称为函数fx)的零点 定理3（零点定理）设函数x)在闭区间[a,b]上连续，且a)与b)异号，那么在开区间(a,b) 内至少有一点5使)=0. 定理4（介值定理）设函数x)在闭区间[，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 a)=A及b)=B, 那么，对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点5，使得 八9=C 定理4'（介值定理)设函数x)在闭区间[a,b]上连续，且a)≠b),那么，对于ad)与b)之 间的任意一个数C在开区间(a,b)内至少有一点5，使得 八9=C. 证：设o(x)=fx-C,则(x)在闭区间[a,b]上连续，且a)=A-C与b)=B-C异号.根据零点定 理，在开区间(a,b)内至少有一点5使得 5月=0(ab). 但()=(9-C,因此由上式即得 八月=C(a长b). 定理4的儿何意义：连续曲线弧y=x)与水平直线y=C至少交于一点. 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根 证：函数x)=x34x2+1在闭区间[0,1]上连续，又0)=1>0,1)=-2<0. 根据零点定理，在(0,1)内至少有一点5，使得月=0，即3452+1=0(0<长1). 这等式说明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根是5
