高等数学教案 第五章定积分 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教学内容：一、定积分问题举例 二、定积分定义 四、定积分的性质 教学目标：使学生理解定积分的概念和性质，了解函数可积的充分条件，知道定积分中值定 理的几何解释」 教学重点：定积分的定义 教学难点：对定积分概念的理解 教学方法：讲授 作 业：P2343,4,10,11,12,13 教学过程： 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 设函数=x)在区间[a,b]上非负、 y=f(x) 连续.由直线x=a、x=b、=0及曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中 曲线弧称为曲边， 0 求曲边梯形的面积的近似值： 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替，每 个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面 积的近似值， 具体方法：在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<·<xm-1<xn=b, 把[a,b]分成n个小区间 [x0,x],[x,x2],[x2,x3l,,xr-l,xn], 它们的长度依次为△x1=x-x0,△2=x2一x1,··,△xn=xn-xm-1· 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区 间[x-,x]上任取一点ξ，以x-1,x]为底、f(5)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(=1
高等数学教案 第五章定积分 2,··,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 Af(5i)△x1+f(52)△x2+·+f(5n)△xn =2f传A· i=1 为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间长度中的最大值趋于零，如记 =max{△x1,△x2,·,△xm},则上述条件可表为入→0.当入→0时（这时分段数n无限增多，即 n→oo),取上述和式的极限，便得曲边梯形面积 A=lim2f传Ax. 01 2.变速直线运动的路程 设物体作直线运动，已知速度=(0是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数，且()≥0，计算 在这段时间内物体所经过的路程S! 求近似路程： 我们把时间间隔[T,T]分成n个小的时间间隔△，在每个小的时间间隔△：内，物体运 动看成是均速的，其速度近似为物体在时间间隔△内某点5：的速度（π），物体在时间间隔 △t,内运动的距离近似为△S=v(π)△.把物体在每一小的时间间隔△t内运动的距离加起来 作为物体在时间间隔[T1,T]内所经过的路程S的近似值. 具体做法：在时间间隔[T1,T]内任意插入若干个分点 T1=t0<t1<t2<<tr1<tw=T2, 把[T1,T]分成n个小段 [to,t],[t,t2],…,[t-l,tn], 各小段时间的长依次为 △f1=t1-t0,△12=l2-11,·3△1n=n-tn- 相应地，在各段时间内物体经过的路程依次为 △S1,△S2,,△Sn 在时间间隔[t-,t]上任取一个时刻x,(t-<x<t),以x,时刻的速度(x)来代替[t-,t] 上各个时刻的速度，得到部分路程△S:的近似值，即 △S=v(x)△1(i=1,2,·,m), 于是这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值，即 S≈∑(t)△1：； 求精确值： 2
高等数学教案 第五章定积分 记=max{△t1,△12，·，△1m,当入→0时，取上述和式的极限，即得变速直线运动的路程 S=lim∑v(x)△t. A0扫1 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就抽象 出下述定积分的定义， 定义设函数x)在[a,b)上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<·<xw-1<xw=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xox],[x1,x2,·,[xl,xn], 各个小段区间的长度依次为 △r1=x1-x0,△x2=x2-x1,·,△xn=xn-xn-l: 在每个小区间x-,x]上任取一个点5：(x-1≤5：≤x),作函数值f(5)与小区间长度△x,的乘积 f(5)△x(i=1,2,,m,并作出和 S=∑fG5)Ax· 记=max{△r1,△2，·，△xn,如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x一，x上点5怎 样取法，只要当)→0时，和S总趋于确定的极限L,那么称这个极限I为函数fx)在区间[a,b] 上的定积分（简称积分），记作心fx),即 fx=lim2f传Ax. 元0-1 其中f()叫做被积函数，fx)d叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积 分上限，[a,b]叫做积分区间 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为A=fx):. 变速直线运动的路程为S=)d山， 说明： (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即 f(d=f(d=f(u)du. (2)和2f)△x通常称为f)的积分和。 (3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间可[a,b]上可积. 3
高等数学教案 第五章定积分 函数x)在[a,b]上满足什么条件时，fx)在[ab]上可积呢？ 定理1设fx)在区间a,b]上连续，则f()在[a,b]上可积. 定理2设fc)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则fx)在[a,b]上可积 定积分的几何意义： (1)当x)≥0时， 〔f)达=A(表示曲边梯形的面积 y个 y■f(x) (2)当)<0时， 〔fx)k=-A(表示曲边梯形面积的负值) y个 y=f(x) (3)当x)有正有负时， fx)本=A-4,+4,(价于x辅、函数)的图形及两条直线x0、xb之间的 各部分面积的代数和) y=f(x 用定积分的定义计算定积分： 例1利用定义计算定积分x2 解把区间0,1]分成n等份，分点和小区间的长度分别为 x=(i=1,2,n-l,△x=上(=1,2，m) 取5=三(=l,2,m),作积分和 4
高等数学教案 第五章定积分 立a-含-分H nn P=P石a+2m+)=若+22+ 因为元=1，当0时，n0,所以 s=m2传a=m0+2+片号 01 月-6 n -n1 四、定积分的性质 两点规定： (1)当a=b时， f(x)d=0. 2)当a>b时，fwk=-fk. 性质1fx)±gx=心fwd±gd. i证fx)±gx=1im∑f5)±g传)Ax =lim2f传4x±lim2g传)Ax →01 01 =f6dr±[g()dx 性质2心)dk=kCf(k是常数). 性质3设当<c<b,则 fk=fxk+fxk。 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 按定积分的补充规定，我们有：不论a,b,c的相对位置如何，总有等式 fdx=[fdx+[fd 成立.例如，当a<bc时，由于 f)dx=[fdx+ffdx, 于是有 [fd=[fd-ffd=[fd+[rd. 性质4如果在区间[ab]上f(x)=1,则 5
高等数学教案 第五章定积分 Llds-fox=b-a. 性质5如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则 Cfk≥0(a<b). 证因为f(x)≥0，所以f(5)≥0(i=1,2,3,…,n) 又由于△x≥0(i=1,2,…,n),因此 至店40. 令元=max{△x1,△x2,…,△xn}→0时，便得要证的不等式. 推论1如果在区间[a,b]上fx)≤gx)则 fxk≤gxk(a<b), 证g(x一fx)≥0，从而 gx)dk-fw)=g6-fx≥0， 所以f)≤gwd. 推论2 If(d0fx川d(a<b) 证-fx)1≤fx)≤fx)儿，所以 -flk≤fx≤(dx, 即 Ifx)ds0faxldl. 性质6设M及m分别是函数x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)s[f(x)dk<M(b-a)(a<b). 证因为m≤fx)sM,所以 mk≤fk≤Mk, 从而mb-a)≤dk≤Mb-a. 性质7（定积分中值定理）如果函数x)在积分区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至 少存在一个点5，使下式成立： f)k=f传b-a)(a≤≤b). 6
高等数学教案 第五章定积分 这个公式叫做积分中值公式， 证把性质6中的不等式各除以b-a，得 m≤afs≤M, 由连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点5，使 fgar达， 于是两端各乘以b-,即得所要证的等式.。 应注意：不论ab,积分中值公式都成立. 积分中值公式的几何解释： 在区间[a,b]上至少存在一个5， A y=f(x) f(5) 使得以区间[a,b]为底边，以曲线 y=∫(x)为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为()的一个矩形的面积. >