高等数学教案 第一章函数与极限 第八节函数的连续性与间断点 教学内容：函数的连续性与间断点 教学目标：通过本节课的教学，使学生理解函数的连续的概念（包含左连续、右连续），会 判断函数的间断点类型。 教学重点：函数的连续性 教学难点：函数连续的定义，间断点类型的判别 教学方法：新课讲授法 作业：p652,3,4. 教学过程： 一、函数的连续性 变量的增量： 设变量“从它的一个初值山变到终值2，终值与初值的差2山1就叫做变量“的增量，记作 △4，即△l=2-1. 设函数=)在点x的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从xo变到xo+△x时， 函数y相应地从xo)变到xo+△x),因此函数y的对应增量为 △y=fxo+△x)xo). 函数连续的定义 设函数y=x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量△x=x-xo趋于零时，对应 的函数的增量△y=xo+△x)一xo)也趋于零，即 lim△y=0,或limf(x)=f(x), Ar-0 x→， 那么就称函数y=x)在点o处连续， 注：①lim△y=lim[f+A)-f(]=0 ②设x=xo+△x,则当△r0时，x→xo,因此 lim△y=0台lim[f(x)-f(x,)】=0台limf(x)=f(xo). Kr-0 K子 函数连续的等价定义2：设函数y=x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义 的正数，总存在着正数6，使得对于适合不等式-xd<δ的一切x,对应的函数值x)都满足 不等式
高等数学教案 第一章函数与极限 IAx)-Axo)E, 那么就称函数y=x)在点xo处连续， 左右连续性： 如果imf(x)=f(xo),则称y=fx)在点x。处左连续. →x 如果limf(x)=f(x),则称y=x)在点x。处右连续. X-Xo 左右连续与连续的关系： 函数y=x)在点处连续一函数)y=x)在点o处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性： 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 连续函数举例： 1.如果fx)是多项式函数，则函数fx)在区间(-0，+o)内是连续的 这是因为，x)在(-0，+0)内任意一点处有定义，且 lim P(x)=P(xo). 2.函数f(x)=√x在区间[0，+o)内是连续的. 3.函数y=sinx在区间(-0，+oo)内是连续的. 证明：设x为区间(-0，+0)内任意一点.则有 Ay=sin(x+Ar)-sin x=2sin x cos(+), 2 2 因为当x→0时，y是无穷小与有界函数的乘积，所以lim△y=0.这就证明了函数y sinx在 区间(o,∞)内任意一点x都是连续的. 4.函数y=cosx在区间(-0+oo)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义： 设函数x)在点x的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数x)有下列三种情形之一： (1)在x0没有定义； (2)虽然在xo有定义，但1imx)不存在； (3)虽然在xo有定义且limx)存在，但1imx)≠xo: 2
高等数学教案 第一章函数与极限 则函数x)在点为不连续，而点x称为函数x)的不连续点或间断点。 例1.正切函数=tanx在x=-子处没有定义，所以点x=无是函数anx的间断点. 2 因为1 imtanx=的，故称x=受为函数anx的无穷间断点。 例2.函数y=sin上在点x-0没有定义，所以点x-0是函数sin上的间断点。 当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，所以点=0称为函数si山工的振荡间断点. 例3.函数y=2二在=1没有定义，所以点=1是函数的间断点。 x-1 因为im2-一 =lim(x+)=2,如果补充定义：令x=1时=2，则所给函数在x=1成为连续.所 x1x-1 以x=1称为该函数的可去间断点. x≠1 例4.设函数y=f) x=1 因为四f)=r=l,f0=方，)f0,所以x1是函数)的间断点. 如果改变函数x)在x=1处的定义：令1)=1，则函数)在x=1成为连续所以=1也称为该 函数的可去间断点。 [x-1 x0 因为Iimf)=imx-)=-l, mf6)=imx+)=1, limf(x)≠limf(w), x->0- 所以极限imf(x)不存在，x=O是函数x)的间断点.因函数x)的图形在x=0处产生跳跃现象， 我们称x=0为函数x)的跳跃间断点。 间断点的分类： 通常把间断点分成两类：如果x0是函数x)的间断点，但左极限x0一O)及右极限xo+0)都存在， 那么xo称为函数x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点.无穷间 断点和振荡间断点显然是第二间断点. 3
