高等数学教案 第二章导数与微分 第二节函数的求导法则 教学内容： 1、导数的四则运算法则： 2、反函数求导法则： 3、复合函数的求导法则。 教学目标： 1、熟记四侧运算求导法侧，对四测运算表示的函数进行求导计算： 2、熟练掌握反函数求导法则与复合函数的求导法则： 3、熟练使用公式计算初等函数的导数。 教学重点： 复合函数的求导法则。 教学难点： 1、反函数求导法则： 2、复合函数的求导法则。 教学方法：讲练结合教学法 作业：P22,3,4,6,7,8,9,10,11. 教学过程： 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1如果函数=(x)及=v)在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母 为零的点外)都在点x具有导数，并且 [ux)士v(x)]'=4'(x)士v(x); [u(x)v(x)J=u(x)v(x)+u(x)v'(x); u(x)]'_u'(xv(x)-u(x)p'(x) v(x) v2(x) 证明(（儿u(x)士(r=imur+h)±x+h]-x)±x h-→0 =lim 「ux+h)-x+r+h)-v =u'(x)tv(x). h 法则(1)可简单地表示为 (t'=士y
高等数学教案 第二章导数与微分 (2)[u(x)=lim-u()v(x) h+0 =-lim [u(x+-)(x+A-u(x)(x+为+ux(C+)-ux)Mr切 h→0h =lim +-国x+++月-四 h h -lim).im)+()im) h-→0 h h-→0 行→0 h =u'(x)v(x)+u(x)v(x), 其中limv(x+h)=v(x)是由于v'(x)存在，故v(x)在点x连续. 法则(2)可简单地表示为 (w)'='y+ u(x+h)u(x) (3)/47 丫=8x+v=-lim+v-ux+ h>0 vx+h)v(x)h -lim)-u()()-u(x+)-v(x)] -→0 v(x+h)v(x)h +月-u-Mx+)=四 h h vx+h)v(x) u()v(x)-u(x)v(x) v2(x) 法则(3)可简单地表示为 (=-w v2 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设=u(x)、v=v(x)、 w=w(x)均可导，则有 (u+-w)'=+v-w. (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw. 在法则(2)中，如果=C(C为常数)，则有 (Cu)'=Cu'. 例1.y=2x3-5x2+3x-7,求y 解：y'=(2x3-5x2+3x-7)'=(2x-(5x3y+3x)-(7)'=2(xy-5(x3y+3(x)' =2-3x2-52x+3=6r2-10x+3. 例2.f)=x+4cosx-sin受，求f6)及f受) 2
高等数学教案 第二章导数与微分 解：f'(x)=(x3y+(4cosx-(sin)y=3x2-4sinx, 例3.y=e(sinx+cosx),求y. 解：y'-(e)y(sinx+cosx)+e'(sinx+cos x)' =e*(sin x+cosx)+e*(cos x-sinx) =2e*cos x. 例4.y=tanx,求y. 解：y=(tan'=in'=(sin x)'cosx-sinx(cosx) cOS x cos2x =cos2x+sin2x 1 cos2x cos2x -=sec2x. 即 (tanx)'=secx. 例5.y=secx,求y. 解：y=6ec对r-(L与-0 osx=cosy=snL=sec x tanx. coSx cos2x cos2x 即 (sec x)'=sec x tanx. 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： (cotx)'=-cscx, (csc x)'=-csc x cotx. 二、反函数的求导法则 定理2如果函数x=y)在某区间1，内单调、可导且f"6y)≠0，那么它的反函数=f'(x)在 对应区间I={=y),yeIy}内也可导，并且 0·或1 f6r=1 dxdx y 简要证明：由于=y)在I,内单调、可导（从而连续），所以=0)的反函数y=∫'(x)存在， 且厂(x)在Ix内也单调、连续. 任取x∈I,给x以增量△x(△≠0，x+△reI),由y=(x)的单调性可知 △y=f(x+△x)-f厂(x)≠0， 于是
高等数学教案 第二章导数与微分 △y1 △y 因为y=广(x)连续，故 lim△y=0 x->0 从而 [f-I(G)T=lim A=lim- 1 Ar0△xA0△xf'y) △y 上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6.设si加yy-受习为直接函数，则)-arcsin是它的反函数.函数=siny在 开区间（受孕）内单调、可导，且 (siny)'=cos y>0. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-1,1)内有 (arcsinx)'=1 1 (siny)cosy 1-sin2y1-x2 类似地有：((arecos=一- 例7.设=tan y.ye(-受，孕为直接函数，则)arctan是它的反函数.函数iany 在区间（←受孕内单调、可导，且 (tany)'=sec2y≠0. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-0，+0)内有 1 11 (arctanx)'= (tany)'sec2y 1+tan2y 1+x2 类似地有：((arccotx)=1+x2 1 例8设x=a'(a>0,a≠1)为直接函数，则y=logx是它的反函数.函数x=a'在区间I,=(-0, +o)内单调、可导，且 (ay'=a'lna≠0. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间I=(0,+)内有 (og。y=@y-avlna xlna 111 到目前为止，所基本初等函数的导数我们都求出来了，那么由基本初等函数构成的较复 4
高等数学教案 第二章导数与微分 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intanx、e、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3如果=gx)在点x可导，函数y=)在点=g(x)可导，则复合函数=几g(x)]在点x 可导，且其导数为 =fω-g或=少业 dx dx du dx 证明：当=g(x)在x的某邻域内为常数时，y=孔x)]也是常数，此时导数为零，结论自然 成立 当=g(x)在x的某邻域内不等于常数时，△0，此时有 △y_fLg(x+Ax]-fLg(x】_fLg(x+△]-fLg(x].gx+A)-gx Ar Ar g(x+Ax)-g(x) _f(u+Au)-f(u).g(x+Ax)-g(x) △W △x =lim Ay=lim futu)-r).lim()gx). dAx-→0△x0 △u △r 简要证明： dy=lim Ay=lim Ay.Au lim Ay.lim Au=1(u)g'(x). dxAr0△x△r0△u△x△0△u△￥0△x 例9y=e,求少」 dx 解函数y=er3可看作是由y=e“,=x复合而成的，因此 少-y.d恤=ew.3x2=3x2e3. dx du dx 例10血品，求安 d 解函数y加头是由)血，“受复合而成的， 因此 dx du dx (1+x2)2 (1+x2)2 cos-2x 少=少.业=cosu.2+r2)-(2_20-x） 1+x2 对复合函数的导数比较熟练后，就不必再写出中间变量， 例11.Insinx,,求少 dx 解：杂-hsny过 (sinx)'=1 -cosx=cotx. sinx sin 例12.y=-2x2,求 x 解：来-0-2a-0-2x-0-2y02 -4x 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.例如，设=)，=()，=x)
高等数学教案 第二章导数与微分 则 y_dΦdu_dy du dy dx du dx du dv dx 例13.-Incos(e,求 dx 解来-eoe =-1-sin(e)](e)'=-ertan(e). cos(ex) 例14，y=em时，求 x 解虫e时=e6y-eos dx 1 例15设x>0,证明幂函数的导数公式 (=ux 解因为x“=(eny=ernr,所以 x'=(erny'=einr(μlnx'=euinx.μxl=μxl 四、基本求导法则与导数公式 1.基本初等函数的导数： (1)(C)'=0, (2)6'=uX, (3)(sinx)'=cosx, (4)(cos x)'=-sinx, (5)(tan x)'=secx, (6)(cotx)'=-cscx, (7)(sec x)'=sec x-tanx, (8)(csc x)'=-csc x-cotx, (9)(a")'=a*In a, (10ey=e, (1)(ogxy=1 xlna' 6
高等数学教案 第二章导数与微分 2hy-2 (13)(arcsinx)'=- -x2, (14)(arccosx)'=- 1-x2 (15)(arctanx)= 1 ()(arcot 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设4=(x),=vx)都可导，则 (1)(u±'='士y, (2)(C)'=C, (3)(u)'=v+v', (4)(=4v-型 3.反函数的求导法则 设x=)在区间I,内单调、可导且f"y)≠0，则它的反函数=f(x)在=L,)内也可导，并 且 [(x了E或g=1 dxdx y 4.复合函数的求导法则 设=x),而=g(x)且)及g(x)都可导，则复合函数=孔gx)]的导数为 变_少.业或yw)与f'(0g, dx du dx 例16.求双曲正弦shx的导数 解：因为shx=(e-e),所以 (shxY-je-cY-(er+e-)-chx, 即 (sh x)'=ch x. 类似地，有 (ch x)'=sh x 例17.求双曲正切hx的导数. >
高等数学教案 第二章导数与微分 解因为山x曲，所以 (thy=ch2x-sh2x。1 ch2x ch2x 例18.求反双曲正弦arshx的导数. 解：因为arsh x=n(x++x2),所以 (arsh x)'=1 x++京+中 由archx=ln(c+2-),可得(arch x')=月 x2-1 由arth告，可得amh 类似地可得achy-点，((rh.xY-京 例19.=sin nx-sin”x(n为常数)，求y. 解：y'-(sin nx')sin"x+sinr·(sin"x)y =ncos nx-sin"x+sin nx·n·sin"-lx(sinx)y ncos nx-sin"x+n sinx cos x=n sin"x.sin(n+1)x. 小记： 1、若函数可以化简时，应先化简再进行求导运算，这样可以简化计算步骤。 2、利用链式法则求复合函数的导数时，首先应对函数的复合关系做到心中有数，在具 体计算时不要遗漏复合函数的复合步骤。 3、要注意商的求导、复合函数的求导以及区分“与x“的求导公式