高等数学教案 第一章函数与极限 第七节无穷小的比较 教学内容：无穷小的比较：等价无穷小 教学目标：1.通过本节的教学，使学生掌握无穷小的比较方法，了解无穷小的阶的概念，会 用等价无穷小计算极限。 2.通过本节的教学，使学生熟悉一些常用的等价无穷小。 教学重点：等价无穷小的代换定理 教学难点：应用等价无穷小计算极限 教学方法：新课讲授法 作 业：p591,2,3,4. 教学过程： 一，无穷小的比较 1.引入 两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是，关于无穷小的商，却会出现不同的情况. 例如，当x→0时，3x、x2、sinx都是无穷小，而 =0,回=w, 3x lim- sin x=1. x-03x x→0X 两个无穷小之比的极限的各种不同的情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 2.定义 如果im卫=0，就说B是比a高阶的无穷小，记作B=o(a): 2 如果Im卫=0，就说B是比a低阶的无穷小 2 如果mE=c≠0，就说B与&是同阶无穷小： 如果mB =c≠0，k>0,就说B是关于的k阶无穷小. 如果Im卫=l,就说B与a是等价无穷小，记作a~B. 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即c=1. 例如： 1
高等数学教案 第一章函数与极限 因为li 3江-0，所以当x→0时。32是比x高阶的无穷小，即3x=(x)(x→0)， x→0 1 因为lim卫=o,所以n→o时， 是比低阶的无穷小. n+1 n 因为lim 心-9=6所以x→3时，2-9与x-3时同阶无穷小 3x-3 因为li 术→0 x2 -2所以当x→0时，1-c0sx是关于x的二阶无穷小 1-cosx 1 因为lim m sinx=l,所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x(x→0) 0x 下面再举一个常用的等价无穷小的例子 例1证明：当x→0时，十x-11x。 n 证：因为 1+x-1 (1+x-1 lim- lim- r→0 1 -x (+x刘+1+x)2+…+1 n n =lim —=1 1+x)+1+x)-2+…+1 所以1+x-11x(x0). n 关于等价无穷小，有下面两个定理。 3.定理 定理1a~B台阝=+0() 定理2设a~心，B~g,且1mE存在，则 lim B=limB a' 证：im=im）=limlim lim-imE B'a'a _a [注]定理2提供了一种计算极限的重要方法-—-一等价无穷小代换求两个无穷小之比的极 限时，分子及分母都可用等价无穷小来代换，对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意， 2
高等数学教案 第一章函数与极限 等价无穷小不能在加减法中使用.常用的等价无穷小有：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsin arctanx~x1-cosx(+x)-1~ax 中为常数). 例2求lim tan 2x x-0 sin 5x 解：当x→0，tan2x~2x,sin5x~5x,所以 tan2x-lim行 2x2 lim x0sin5xx→05x5 例3求lim 1+x2-1 解：当x→0，+产-1~x2,对分子作代换，得 nV1+x2-1 1 lim- -=lim x-0 x2 2 3