第三节高阶导数 0 基本概念 如果函数f(x)的导函数f'(x)在点x依然可导， 则称(f'(x)'为函数f(x)的二阶导数，① 并记为f(,y,或fe. dx2 一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数，《 记作 f(x,y,或 "f(x) dx” d
一、 基本概念 如果函数 f ( x) 的导函数 f ( x)在点 x依然可导， 第三节 高阶导数 则称( f ( x)) 为函数 f ( x)的二阶导数， 并记为 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 一般地, 函 数 f ( x)的n − 1阶导数的导数称为 . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 函数f (x)的n阶导数, 记作
的一 而v'(t)=s”(t)=a(t)是t时刻的加速度函数.d 二、 定理与性质 1.利用归纳法可以求出下列函数的n阶导数公式 (1) (x“)m=a(a-1)(a-n+1)a-"d (2) nx)w=)"-'n-1g (3) (a)m=a.ln"a(a>0,a≠1)，特别e)m=e (4) (sin ayo-sin( (5) (osyP=ox+n孕
例如s(t)是直线运动的位置函数， 而v (t) = s (t) = a(t)是t时刻的加速度函数. 二、 定理与性质 1. 利用归纳法可以求出下列函数的n阶导数公式 n n x n x − = − − + (1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) n n n x n x ( 1) ( 1)! (2) (ln ) 1 ( ) − − = − x n x n x n x a = a a a a e = e ( ) ( ) (3) ( ) ln ( 0, 1),特 别( ) ) 2 (4) (sin ) sin( ( ) x = x + n n ) 2 (5) (cos ) cos( ( ) x = x + n n 则s (t) = v(t)是t时刻的速度函数
2. 莱布尼茨公式 函数(x),y(x)具有n阶导数，则u(x)·v(x)的n阶导数 ())D(-2) 24 -1)(n-k+D)u(-)()v() : Chu(n-y) k=0 例如x2sinx的n阶导数(n≥2)④ (sin (sinx)" k≌0
2. 莱布尼茨公式 函数 u( x),v( x) 具有n阶导数， + − = + + − − u v n n u v u v nu v (n) (n) (n 1) (n 2) 2! ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) n k k n u v uv k n n n k + + − − + + − ( ) ( ) 0 n k k n k k n C u v − = = 例 如 x sin x 2 的n阶导数 (n 2) 2 ( ) ( sin ) n x x ( ) ( ) 0 2 ( ) (sin ) k n k n k k n = C x x − = 则u( x) v( x)的n阶导数
(x2sinx)C(x)(sin.x)) k=0 -C(x2)(sinx)+C(x2)(sinx)+C(x2)"(sinx) =s+n孕+a-2xsmx+a-经+2mx+a-2受
2 ( ) ( sin ) n x x ( ) 0 2 ( ) (sin ) ( ) k n k k n C x x n k = − = 2 ( ) 1 2 ( 1) 2 2 ( 2) ( )(sin ) ( ) (sin ) ( ) (sin ) − − − − = + + n n n n n n n n Cn x x C x x C x x ] 2 sin[ ( 2) 2 ( 1) ] 2 ) 2 sin[ ( 1) 2 sin( 2 + − − = + + + − + x n n n x x n n x x n
三、课前思考问题 1.推导xa、lnx、sinx、cosx以及a'的n阶导数 2. 写出f(x)·g(x)的n阶导数的莱布尼茨公式，并求④ x2e2x的n阶导数 3. 证明y=f(x)的反函数x=f(y)的二阶导数公式 dx =y
三、 课前思考问题 1. 推导 x 、ln x、sin x、cos x以及 x a 的n阶导数 . 2. 写出 f ( x) g( x)的n阶导数的莱布尼茨公式，并求 x x e 2 2 的n阶导数 3. 证明 y = f ( x)的反函数 ( ) 1 x f y − = 的二阶导数公式 2 3 2 x xx y y dy d x = −