王 第二节 洛必达法则 一、 基本概念④ 1)在同一变化过程中f(x),g(x)都是无穷小，且局部g(x)≠0 或者(2)在同一变化过程中，f(x),g(x)都是无穷大， 那末极限lim 称为或”型未定式 8(x) 01 00 本节利用柯西中值定理推导出一个计算 0或”型极限的方法 0 该方法称为洛必达法则
一、 基本概念 本 节利用柯西中值定理推导出一个计算 或0 0 型 极限 的方法 第二节 洛必达法则 (1)在同一变化过程中 f ( x)，g( x)都是无穷小，且局部g( x) 0 或 者(2)在同一变化过程中， f ( x)，g( x)都是无穷大， . 0 0 ( ) ( ) 那末极限 lim 称为 或 型未定式 g x f x 该方法称为洛必达法则
二、 定理与性质 1. 如果im f(x) 是 或”型未定式《《 g(x) 00 极限im f'(x) '(x) =A存在或为0. 那末im: f(x)=lim f'(x) =A或为0Q g(x) g'(x) x3-3x+2 例如 四x-x2-x+1 是 型未定式 3x2-3 原式=im 6x 3 x13x2-2x-1 li x-→ 6r-2 2
二、 定理与性质 1. 如果 ( ) ( ) lim g x f x 是 0 0 或 型未定式 = 那末 = A 或为 g x f x g x f x ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 极限 A g x f x = ( ) ( ) lim 存在或为 . 例如 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 是 0 0 型未定式 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 (
例如lim Insin 2x 是 0 型未定式 x-0 Insin3x 00 2cos2x (Insin 2xy lim li sin2x 0 →0(nsin3x)y x-0 3cos3x sin3x 2sin3xcos2x 2·3x 3sim2xcos3x 32x lim- =14 即】 Insin 2.x =1 x30 Insin3x
例如 x x x lnsin3 lnsin2 lim →0 是 型未定式 x x x x x x x x sin3 3cos3 sin2 2cos2 lim lnsin3 lnsin2 lim →0 →0 = （ ） （ ） x x x x x 3sin2 cos3 2sin3 cos2 lim →0 = 1 3 2 2 3 lim 0 = = → x x x 即 1 lnsin3 lnsin2 lim 0 = → x x x
2 (1)如果Iimf(x)·g(x)是0o型未定式Q 则limf(x)g(x)=lim f() 或im g(x) 1 1 g(x) f(x) 化成了0或”型未定式 0 0 元 例如任-anmm arctanx 2 →+6∞ 1 1 X lim 1+ X→+0 1 *1+2=1 ④=lim
2. （1）如果lim f ( x) g( x) 是 0 型未定式 则 ( ) 1 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim ( ) ( ) lim f x g x g x f x f x g x = 或 化成了 0 0 或 型未定式 − →+ x x x arctan 2 lim 例如 x x x 1 arctan 2 lim − = →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x
(timt r) 中f(x)与g(x)都是无穷小.0Q 则可以通分化成型未定式计算 0 例知如回女1k In(1+x)x x.In(1+x) In(1+x)-x 1一1 =lim 1+X x→0 x2 卿 2x 2+= lim -x
（2） ) ( ) 1 ( ) 1 lim( f x g x − 其 中 f ( x)与g( x)都 是无穷小 . 则可以通分化成 0 0型未定式计算. ] ln(1 ) 1 1 lim[ x 0 x + x − → 例如 ln(1 ) ln(1 ) lim 0 x x x x x + + − = → x x x 2 1 1 1 lim 0 − + = → 2 0 ln(1 ) lim x x x x + − = → 2 1 2 (1 ) lim 0 = − + − = → x x x x
3. 如果Iimf(x)8)是0°，1”，o°型未定式 则 limf(x)(=limel(f()=limes(s)f) 而limg(x)nf(x)是0.o型未定式Q lim xInx 例如 limx*=lim exms =exn x→0t x→0+ 1 Inx lim Inx lim x*=lim e* =exox x→+o∞ x→+o 1 Inx lim In.x limx1 limex-i=e- x→1 x→1
3. 如果 ( ) lim ( ) g x f x 是 0 0 0 ,1 , 型未定式 ( ) g x f ( x ) g( x ) f ( x ) f x e e g x ( ) ln( ) ln lim lim lim ( ) 则 = = 而lim g(x)ln f (x) 是 0 型未定式 例如 x x x x x x x x x e e lim ln ln 0 0 0 lim lim → + + + = = → → x x x x x x x x x e e ln lim 1 ln lim lim →+ = = →+ →+ 1 ln lim 1 ln 1 1 1 1 1 lim lim − − → − → → = = x x x x x x x x x e e
三、课前思考问题 sin 主二二二主二二二二二二二 1.利用(1)1im x+cosx ;(2)lim 说明洛必达法则 X->00 x x→0∞ 1 X 不是极限存在的充分条件. 1 2.计算极限(1)Iimx;(2) lim x*;(3)lim x-1. x→0+ X)+∞ x1 3,分别利用重要极限方法与洛必达法则计算极限mc0sx是 ℃>0
三、 课前思考问题 1.利用（1） x x x x cos lim + → ；（2） x x x 1 1 sin lim → 说明洛必达法则 不是极限存在的充分条件. 2.计算极限（1） x x x → + 0 lim ；（2） x x x 1 lim →+ ；（3） 1 1 1 lim − → x x x . 3.分别利用重要极限方法与洛必达法则计算极限 2 1 0 lim(cos ) x x x →
