《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第一章 函数与极限 第一节 映射与函数

高等数学教案 第一章函数与极限 第一章 函数与极限 第一节映射与函数 教学内容：函数的概念，性质。 教学目标：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及图形，并会建立简单问题中的函 数关系式。 教学重点：理解复合函数，分段函数，反函数概念，掌握基本初等函数的性质以及图像。 教学难点：掌握复合函数以及分段函数，反函数概念 教学方法：新课讲授法 作 业：p214-16 教学过程： 一、集合 1.集合概念 集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C.等表示 元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aeM. 集合的表示： 列举法： 把集合的全体元素一一列举出来 例如A={a,b,c,d,e,fg} 描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为 A={a1,a2,·,an}, M={x|x具有性质P} 例如M={x,y川x,y为实数，x2+2-1} 几个数集： N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集 N={0,1,2,,n,}.Nt={1,2,,n,…. R表示所有实数构成的集合，称为实数集 乙表示所有整数构成的集合，称为整数集 Z={,-n,,-2,-1,0,1,2,,n,…

高等数学教案 第一章函数与极限 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集 Q=|peZ,q∈N*且p与q互质 子集：若x∈A,则必有x∈B,则称A是B的子集，记为ACB(读作A包含于B)或B-A. 如果集合A与集合B互为子集，ACB且BCA,则称集合A与集合B相等，记作A=B. 若AcB且A≠B,则称A是B的真子集，记作A至B.例如，N三ZQR. 不含任何元素的集合称为空集，记作⑦.规定空集是任何集合的子集. 2.集合的运算 设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简 称并)，记作UB,即 AUB={XX∈A或x∈B) 设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简 称交)，记作A⌒B,即 AOB={x|X∈A且x∈B} 设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简 称差)，记作AB,即 A\B={x|x∈A且xEB} 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合【中进行，所研究的其他集合A都是I的子 集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称A为A的余集或补集，记作A 集合运算的法则： 设A、B、C为任意三个集合，则 (I)交换律：AUB=BUAA∩B=BOA (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC)(A∩B)OC=A∩(B⌒C) (3)分配律(AUB)OC=(A⌒C)U(B∩C) (A∩B)UC=(AUC)⌒(BUC) (4)对偶律(AUB)=A∩B°(A⌒B)°=A°UB (UB)C=ACOBC的证明： 2

高等数学教案 第一章函数与极限 x∈(AUB)XAUB台xEA且xeBXEAC且XEBC XEACOBC,所以(AUB)C=ACOBC. 直积（笛卡儿乘积）： 设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素 八，组成一个有序对c,),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与 集合B的直积，记为A×B,即 A×B={x,yx∈A且yeB; 例如，R×R={,y川xER且yeR}即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R. 3.区间和邻域 有限区间： 设a<b,称数集{xa<x<b}为开区间，记为(a,b),即 (a,b)={xla<x<b. 类似地有 [a,b]=x|a≤r≤b}称为闭区间， [a,b)={x|asr<b}、(a,b]={x|a<x≤b称为半开区间. 其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点，b-a称为区间的长度 无限区间： [a,+o)={x|a≤x},(-o,b]={x|x<b},(-o,+oo)={x|x|<+o} 区间在数轴上的表示： 邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a) 设8是一正数，则称开区间(a-da+)为点a的8邻域，记作U(a,),即 U(a,={x|a-&x<a+ =xx-al<8. 其中点a称为邻域的中心，6称为邻域的半径. 去心邻域U(a,: U(a,0={x10<x-aK 二、映射

高等数学教案 第一章函数与极限 1.映射的概念 定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则方使得对X中每个元素x,按法则 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称∫为从X到Y的映射，记作 f:X→Y, 其中y称为元素x(在映射∫下)的像，并记作x),即 =x), 而元素x称为元素（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D,即 DEX; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为R5或)，即 RfX)=(f(x)kxEX). 需要注意的问题： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X,即定义域D=X,集合Y,即值域的范 围：R/cY,对应法则f使对每个x∈X,有唯一确定的y=x)与之对应， (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的；而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的； 映射f的值域Rr是Y的一个子集，即RrcY,不一定R=Y 例1设f:RR,对每个xeR,x)=x2 显然，f是一个映射，f的定义域D=R,值域Rr={20;,它是R的一个真子集.对于R/ 中的元素y,除y=0外，它的原像不是唯一的.如=4的原像就有x=2和x=-2两个 例2设X={x,y)x2+y=1},Y={(x,0x1},f:X→Y,对每个c,y)eX,有唯一确定的(x, 0)eY与之对应 显然∫是一个映射，∫的定义域D=X,值域R=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一 个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上. (6f-受习-1，小.对每个xe-受1sinx, f是一个映射，定义域D-受1，值域R-1,山 满射、单射和双射 设∫是从集合X到集合Y的映射，若R=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则 称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素xx2,它们的像x)≠x2),则 称∫为X到Y的单射；若映射∫既是单射，又是满射，则称∫为一一映射（或双射 上述三例各是什么映射？

高等数学教案 第一章函数与极限 2.逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yeRr,有唯一的x∈X适合x)=y,于是，我们 可定义一个从R,到X的新映射g,即 g:Rr→X, 对每个yER/,规定g)=x,这x满足x)与y.这个映射g称为f的逆映射，记作厂，其定 义域D,=R,值域R-=X 按上述定义，只有单射才存在逆映射，上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g:X>Y1,f:Y2→Z, 其中Y1cY2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xeX映射成 几gx]∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成 的复合映射，记作fog,即 fog:X→Z, (fog)x)=fgx)小，xeX. 应注意的问题： 映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域Rg必须包含在f的定义域内，RgcD·否则， 不能构成复合映射，由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fog有意义并不表示gof 也有意义，即使fog与gof都有意义，复映射fog与gof也未必相同 例4设有映射g:R→[-l,1],对每个x∈R,g(x)=sinx, 映射f子[-1，]-→0，，对每个e[-1,1小，f0)=V-u2 则映射g和f构成复映射fog:R[0,1],对每个xeR,有 (fog)(x)=fg(x)]=f(sinx)=v1-sin2x=cosxl. 三、函数 1.函数概念 定义设数集DR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为 y=fx),xED, 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,即D=D. 应注意的问题 记号∫和x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者

高等数学教案 第一章函数与极限 表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f),xED”或“=x), x∈D”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f, 函数符号：函数y=x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如“F”,“o”等。 此时函数就记作y=p(x),y=F(x): 函数的两要素： 函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域D 及对应法则∫.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的， 否则就是不同的. 函数的定义域： 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景 中变量的实际意义确定 求定义域举例： 求函数y=1-√2-4的定义域 要使函数有意义，必须≠0，且x2-4≥0 解不等式得x上2. 所以函数的定义域为D={x|x2},或D=(-0,2小U[2,+∞])： 单值函数与多值函数： 在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值 函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x∈D,总有确定的y值与之对应，但这个 y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则 由方程x2+y2=r2给出.显然，对每个x∈[-，小，由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值，当x= 或=-时，对应y=0一个值；当x取(-r,)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确 定了一个多值函数 对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函 数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x+y=给出的对应法则中，附加“≥0”的条 件，即以“2+2=2且20”作为对应法则，就可得到一个单值分支y=yx)=V2-x2;附加 “≤0”的条件，即以“x+y=2且y0”作为对应法则，就可得到另一个单值分支 6

高等数学教案 第一章函数与极限 y=y2(x)=-V2-x2 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学里大家已经 熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集 (P(x,y)ly=Ax),xED) 称为函数y=x),xeD的图形.图中的Rr表示函数y=x)的值域. 函数的例子： xx≥0 例.函数y-xx0 例.函数y=sgmx={0x=0. -1x1 这是一个分段函数，其定义域为D=[0,1]U(0,+o)=[0,+o) 当0≤≤1时，y=2√x；当x>1时，y=1+x 例如/兮-25-5：0=2T-2:81+34 2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数x)的定义域为D,数集XcD.如果存在数K,使对任一x∈X,有)K,则称 函数x)在X上有上界，而称K1为函数)在X上的一个上界.图形特点是y=x)的图形在直

高等数学教案 第一章函数与极限 线=K1的下方 如果存在数K2,使对任一x∈X,有x)≥K,则称函数)在X上有下界，而称K2为函数 x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y=x)的图形在直线y=K2的上方 如果存在正数M,使对任一x∈X,有)≤M,则称函数)在X上有界；如果这样的M 不存在，则称函数x)在X上无界.图形特点是，函数=x)的图形在直线)=-M和y=M的 之间 函数x)无界，就是说对任何M,总存在x1eX,使x)1>M. 例如 (1)/x)=sinx在(-o0,+oo)上是有界的：sinx1. (2)函数fx)=二在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界，无上界. 这是因为，对于任一心1，总有：0M, 所以函数无上界 函数f-在1,2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y=x)的定义域为D,区间IcD.如果对于区间I上任意两点x1及2，当x1x2), 则称函数x)在区间1上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 函数单调性举例： 函数y=x2在区间(-0,0]上是单调增加的，在区间[0，+o0)上是单调减少的，在(-00，+o) 上不是单调的 (3)函数的奇偶性 设函数x)的定义域D关于原点对称（即若xeD,则-xeD).如果对于任一xeD,有

高等数学教案 第一章函数与极限 -x)=x), 则称x)为偶函数， 如果对于任一xeD,有 f-x)=x), 则称x)为奇函数， 偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称， 奇偶函数举例： y=x2,y=cosx都是偶函数.y=x3,y=sinx都是奇函数，y=sinx+cosx是非奇非偶函数。 (4)函数的周期性 设函数x)的定义域为D.如果存在一个正数1，使得对于任一xED有（±）ED,且 x+0=x) 则称x)为周期函数，1称为x)的周期. 周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为1的区间上，函数的图形有相同 的形状。 3.反函数与复合函数 反函数 设函数f:D→D)是单射，则它存在逆映射一：D)→D,称此映射f为函数f的反函数 按此定义，对每个y∈D),有唯一的x∈D,使得x)=y,于是有 '6y)=x. 这就是说，反函数厂的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的 一般地，=x),xeD的反函数记成y=f'(x),x∈D) 若f是定义在D上的单调函数，则子：DD)是单射，于是f的反函数~必定存在，而 且容易证明厂也是D)上的单调函数， 相对于反函数y=一(x)来说，原来的函数=)称为直接函数.把函数y=x)和它的反函 数 y=∫(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称的.这是因为如果 P(a,b)是=x)图形上的点，则有b=a.按反函数的定义，有a=f'(b),故Qb,a)是y=f(x) 图形上的点；反之，若Qba)是=(x)图形上的点，则P(a,b)是y=x)图形上的点.而P(a,b) 与Q(b,a)是关于直线yx对称的， 复合函数： 9

高等数学教案 第一章函数与极限 复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述， 设函数y=)的定义域为D1,函数=g(x)在D上有定义且g(D)cD,则由下式确定的 函数 J=fg(x)l,x∈D 称为由函数=gx)和函数y=)构成的复合函数，它的定义域为D,变量“称为中间变 量 函数g与函数f构成的复合函数通常记为fg,即 (fog)）=gx小. 与复合映射一样，g与f构成的复合函数fg的条件是：是函数g在D上的值域g(D)必 须含在f的定义域Dr内，即g(D)cD否则，不能构成复合函数 例如0c的定义城为-L,小u=8闲-2一F在D-l-月19上 有定义，且g(D)c-1,1],则g与f可构成复合函数 y=arcsin2v1-x2,xeD; 但函数)=arcsin u和函数=2+x2不能构成复合函数，这是因为对任xeR,M=2+x均不在 =arcsin u的定义域[-l,1]内. 多个函数的复合： 4.函数的运算 设函数x),g()的定义域依次为D1,D2,D=D1⌒D2≠☑，则我们可以定义这两个函数的 下列运算： 和（差）f±g:(fg)x)=x)tgx),x∈D; 积fg:fg)x=x)g,xeD, 商L:=f四，xeD0. g g(x) 例11设函数x)的定义域为(-1，)，证明必存在(-1，)上的偶函数g(x)及奇函数hx),使得 Ax)=g(x)+h(x). 分析如果fx)=gx)+hx),则-x)=g(x)-hx),于是 g(x)=f)+f-x川，h(x)=fx)-f(-x] 证作g)=f(+f-x,Mx=f-f-x,则=g+h, ⊙