高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第二节洛必达法则 教学内容： 1、用洛必达法则求未定式9或”型的极限： 00 2、其它类型的未定式00、00-0、0°、1°、0°的极限。 教学目标： 1、会用洛必达法则求未定式9或”型的极限，明确该法则的使用条件： 00 2、可将其它类型的未定式00、00、0°、1”、∞°化为9或2型。 0 教学重点： 1、用洛必达法则求未定式0或°型的极限： 01 2、其它类型的未定式0o0、0-00、0°、1、0°的极限。 教学难点： 1、用洛必达法则求未定式9或型的极限： 01 2、其它类型的未定式0o、0-0、0°、1P、0°的极限。 教学方法：讲练结合教学法 作业：381,2,3. 教学过程： 未定式：如果当x→a(或xo)时，两个函数x)与Fx)都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限lim 可能存在、也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为。或 F(x) 0 其它类型的未定式：00、0-0、0°、1”、0” m(8型mg0(号型到，mhx00型， x+x T+0 1im(secx-tan)(o-o型)，imxr(0°型)，1im+)yr(I型)，1im(x2+a2)京(o°型)， →号 定理如果函数x)及g(x)满足如下条件：
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (1)当x-→a时，函数fx)及g(x)都趋于零； (2)在点a的某去心邻域内可导g(x)≠0； (3)lim四存在（或为无穷大方 x-→ag'(x) 那么 limf =limf x0g(x)x→4g'(x) 这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必 达法则。 证明：因为极限1im四与a及ga无关，所以可以假定a=ga)0,于是由条件()、 r→ag(x)） (2)知，x)及gx)在点a的某一邻域内是连续的.设x是这邻域内的一点，那么在以x及a为 端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 f田_f)-f@-f月（传在x与a之间）. g(x)g(x)-g(a)g') 令x→，并对上式两端求极限，注意到x→a时5→a,再根据条件(3)便得要证明的结论 简要证明：令(a)=g(a)=0,于是x)及g(x)在点a的某邻域内连续.在该邻域内有 lim f()=lim )-f(a)=lim(=lim(=lim →ag(x)-→ag(x)-g(a）x→ag'(5)5ag'(5x-→ag'(x) 令x→4，并对上式两端求极限，注意到x→a时→a,再根据条件(3)便得要证明的结论 求“8”型未定式的极限 0 例1.求1 im sinax(b≠0). x0sinbx 解：lim sinax-lim sinax) xsinbx =lim acosaxa x(sinbx)'bcosbx b 例2.求1imr3-3x+2 x1x3-x2-x+1 解：1imx3-3x+2=limx3-3x+2少 x1x3-x2-x+11(x3-x2-x+l) 品2子 例3.求lim-sinx x3 解：limx-sinx=liml-cosx=limsinx= x3 03x2 -06x6 我们指出，对于x时的未定式8，以及对于x0或x→时的未定式二也有相应 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 的洛必达法则.例如，对于x→时的未定式号有：如果 (I)当x→c时，函数x)及gx)都趋于零； (2)当xPN时f'(x)及g(x)都存在且g'(x)≠0： (③)im四存在（或为无穷大方 xg(x) 那么1imf田=limf因 x-eg(x)x→og(x) 例4.求im2 -arctanx 1 解：lim2 -arctanx lim1+x2=lim x2 =1. r+ 1 r→+ol+r2 x2 2、求“””型未定式的极限 00 例5.求1imhx(n>0). x→+0Xh 1 x+0Xh ilim0. 解：limnx=lim x-→+0n.x 例6求m兰a为正整数0， e=lim nn-D)xu-2 解：m器-m = K→+切22er n =imae=0. 其它类型未定式00、0-0、0、1、∞°都可以转化为9或”型未定式来计算. 0 00 例7.求limx"nx(>0). x+0 +0 x+0X-刀 49-n=im=”=0. 解：lim x"nx=lim Inx=limx x→+0n 例9.求lim(secx-tanx). 解：lim(secx-tan)=liml-sinx=lim-cosx=0. 号 号cosx 号sinr 例8.求lim x. x+0 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 解：lim=lim=e0=l(根据例7) x-→+0 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用.例如 能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可 以使运算简捷 例l0.求1 im tanx-x x0 x2sinx 解：lim tanx-x=:lim tan-x=lim sec2rl x0x2sinx0x3 x03x2 -lim 2sec2xtanx =limsec2x.tan= x0 6x 3x-0 最后，我们指出，本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足时，所求的 极限当然存在（或为∞），但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在 例11.求lim+sinx x-++0X 解：因为极限1im+sin过=lim+cosx不存在， 十 (x)' 1 所以不能用洛必达法则 lim sin=lim (l+sin)=1. 求极限的方法小结： (1)单调有界序列必有极限； (2)用夹逼定理； (3)用极限运算法则 (4)用函数的连续性； (5)用两个重要极限； (6)无穷小乘有界函数仍是无穷小； (7)用洛必达法则； 补充例题： 例11求极限lim a*-b* (a>0,b>0). x->0 a*-b* 解 lim =lim (a'-b"im a*Ina-b*In 2=Ina-Inb=In x0x x->0 (x) x→0 4
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 例12lim sin x-xcosx=lim sin x-xcosx=lim (sin x-x cosx)' x-0 sinx -0 x3 0 (x3) =lim cosx-cosx+xsinx im sinx 1 3x2 30x3 1 例13lim (gx=lim (gr) ,=lim cos2王1 cos23x =一lm g3x号g3) 3 3 cos2x cos23x -6 cos3x sin 3x -2cosx sinx sin 6x lim lim 6c0s6x=3. 号n2x号 2 cos 2x 例14求极限limx In x+a (a≠0) x-a In x+a 11 x-a 解 lim xln x+a =lim =lim x+a x-a=2alim- 0 x-a) 1 、.1 例l5 lim x-lim ex x→十0 N→+0 1 其中lim-lnx=lim nx=lim-0， x-+0X →+0X x→+01 于是lim x*=lim e*=e0=l. 十 1-1 x-1-Inx=lim- 1-1 x-1 例161im(, )=lim x-x-1xx+x-1 -=lim Inx x-1 (x-1)Inx 11 =nx+1-12 x2 sin 求下列极限：(1)limx(er-1).(2)lim x.(3)lim e*-e-x T3+0 0 sin x r→+oer+e-r 小记：求极限的过程中要注意洛必达法则和等价无穷小代换、极限的四则运算、极限的复合 运算等多种方法的有机结合，灵活运用。 5