高等数学教案 第五章定积分 第二节微积分基本公式 教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 教学目标：使学生熟悉积分上限函数及其求导法：掌握牛顿一莱布尼兹公式的条件与结论， 能够正确运用该公式计算定积分， 教学重点：积分上限函数的导数，牛顿-莱布尼兹公式 教学难点：理解变上限积分定理的含义和应用，以及上限是函数的求导问题 教学方法：讲授 作业：P2342,5,6,9,10,13 教学过程： 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动，在1t时刻所经过的路程为S(),速度为 =()=S'()(v(0≥0)，则在时间间隔[T,T]内物体所经过的路程S可表示为 ST)-S)及0d, 即 0dt=S)-s④. 上式表明，速度函数v()在区间[T,T]上的定积分等于v(0)的原函数S)在区间[T,T]上 的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数fx)在部分区间[a, x]上的定积分 [d 称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数，记为 )=fx)dk,或Φ6w=fo)dh. 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 Φ6w)=fx)dk
高等数学教案 第五章定积分 在[a,b]上具有导数，并且它的导数为 闲=品0h=f()(ac-h 证若x∈(a,b),取△x使x+△xE(a,b),则 y=f(x) △D=D(r+△x)-D(x) -["f(d-frdr /(x) -fr(dr+[fd-ffdr 号+b -["fd=M)x, 应用积分中值定理，有△D=f()△x, 其中在x与x+△x之间，△x0时，5x.于是 -一架-一/8=⑤=. → 若x=a,取△x>0,则同理可证中+'(x)=;若x=b,取△r<0,则同理可证中_'(x)=b). 定理2如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=ff(x)dx 就是fx)在[a,b]上的一个原函数 这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭 示了积分学中的定积分与原函数之间的联系， 三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3如果函数F(x)是连续函数x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 tfxk=F⑥)-Fa. 此公式称为牛顿一莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式： 证已知函数Fx)是连续函数x)的一个原函数，又根据定理2，积分上限函数 Φ6w)=f0)dl 也是x)的一个原函数.于是有一常数C,使 Fx)-D(x)=C(a≤r≤b): 当x=a时，有F(a)Φ(a=C,而(a)=0,所以C=F(a；当=b时，F(b)-(b)=F(a,所以 D(b)=Fb)-F(a),即 [f(x)dx=F(b)-F(@). 2
高等数学教案 第五章定积分 为了方便起见，以后把Fb)-F(a)记成[F(x)],于是 fx=Fe呢=F⑥-F@. 例1计算x2 解由于是x2的一个原函数，所以 -号0-号 3 创2计算明 解由于arcdan是本的一个原函数，所以 arctan arctan 5-arctan(-1) 例3计算是血 解是在=alx=h1-n2=-lh2 例4计算正弦曲线)y=sinx在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积. 解这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积 A=fsinxdx=[-cosxh=-(-1)-(-1)=2. 例5汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车设汽车以等加速度a=-5/s2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 解从开始刹车到停车所需的时间： 当=0时，汽车速度 w=36km/h=36x1000ms=10ms. 3600 刹车后1时刻汽车的速度为 v(t)=Vo+at =10-5t. 当汽车停止时，速度v(0=0,从 v(0=10-51=0 得，t仁2(s). 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 3
高等数学教案 第五章定积分 s=j0dh=a0-50h=l0r-526=10m, 即在刹车后，汽车需走过10m才能停住. 例7设x)在[0，+oo)内连续且x)>0.证明函数F(x) Sod ffd 在(0+o)内为单调增加函数. 证&f0h=f,去/0h=fw.故 Fo-rfo rof-o (d (6f0d)2 按假设，当00,(x-f(t)>0,所以 f(od>0,f(x-Df(dr>0. 从而F'(x)>0(x>0),这就证明了F(x)在(0，+o)内为单调增加函数. 例8求m】 解这是一个0比0型未定式，由罗必达法则， =lim Sin xe cos'x 2x 2e 提示：设()=∫ed,则(cosx)=efdh. 去merh-4cos)-oo)必=er(-sin)=-sin. dx du d 4
