高等数学教案 第七章微分方程 第五节可降阶的高阶微分方程 教学内容：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学目标：掌握三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学重点：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学难点：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学方法：讲练结合 作业：P3231(5),(7),(10):2(3),(6):3；4 教学过程： 引入：从这一节开始我们学习高阶微分方程，对于高阶微分方程我们可以通过降阶的方法把 它转换到低阶的方程来求解。比如：二阶的微分方程y"=f(x,y,y'),如果可以降到一阶， 那么就可以用前面我们学过的方法来求解了。下面我们依次学习三种容易降阶的高阶微分方 程： 一、ym=fx)(f(x)为已知函数)型的高阶微分方程： 具体做法：通过n次积分就可求得原方程的通解。 例1.求方程y4)=e的通解。 解：显然，这是y0=fx)型的高阶微分方程， 因为： y(4)=e* 所以： y"=∫e'dk=e*+C, y"=[(e*+CiY=e*+Cx+C2. y=0+x+Cx+C 2 y=e*+ x+9x2+C,x+C,这就是方程y0=e的通解。 6 2 进而可知， 方程ym)=e的通解为： y=e*t- -1)！ (n-2) x-2+…+C-x+Cn。 应用练习：学生自练P316例1：求微分方程y"=e2r-cosx的通解。 二、y”=f(x,y)型的微分方程： 特点：方程中不显含未知函数y
高等数学教案 第七章微分方程 解法步骤： 第一步：变量替换，设p(x)=y',代入原方程，得p'(x)=f(x,p(x)》,此为关于未知函 数p(x)的一阶微分方程： 第二步：解方程p'(x)=f(x,p(x),如果求得通解p(x)=(x,C),那么： 第三步：由y'=p(x)=(x,C,)两边积分，就求得原方程的通解： y=(x,C)d +C2. 例2.求方程y”+√1-(y)2=0的通解。 解：显然，这是y”=∫(x,y)型的微分方程， 设y'=p(x),则y”=p'(x),代入原方程，得：p=-V1-p2,即： =--p, dx 分离变量，得： dp =d衣， 1-p 两边积分，得：arccosp=x+C, 所以，p(x)=cosc+C),即：y'=cos(x+C), 两边积分，得：y=sin(x+C,)+C2,这就是原方程的通解。 应用练习：P318例3：求微分方程1+x2)y"=2xy满足初始条件yx0=1,y叫xo=3的 特解。 三、y”=f(y,y)型的微分方程： 特点：方程中不显含自变量x, 解法步骤： 第-步：变量替换设0=y-少则y=少__.少-虫p:代 dx dx dx dy dx dy 入原方程，化为： ·P=f0,p),这是关于未知函数p0)的一阶微分方程： d 第二步：解方程中p=f0,p),如果求得其通解为：p()=(,C,),那么： 第三步：由=py)=0,C,)求原方程的通解。 dr 例3.求方程yy”-(y)2=0的通解。 2
高等数学教案 第七章微分方程 解：显然，这是y”=f(y,y)型的微分方程， 设y=p0),则y”=p. ,代入原方程，得：y d 迎p 分离变量，得：迎=少 两边积分，得：np=my+C。, 所以p=C,y,即：少-C dx 两边积分，得：y=C2eC1x,这就是原方程的通解。 应用练习：P320例5：求微分方程y"-y2=0的通解。 四.本节小结： 用逐次积分法或变量替换法解可降阶的高阶微分方程。 3