高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第九章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数基本概念 教学内容：多元函数的概念、极限、连续性。 教学目标：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念， 掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出 连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学方法：新课讲授法 作业：p621,2,5,6,8. 教学过程： 一、平面点集n维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间，记为R即 R2=RxR={(x,y):x,yER) 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E={x,y):化，y)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是 C={x,y:x2+y2<2} 如果我们以点P表示(x,),以OP表示点P到原点O的距离，那么集合C可表成 C=P:OPr). 回顾数轴上点的邻域。 邻域：设P(xo,o)是xOy平面上的一个点，6是某一正数，与点P(xo,%)距离小于6 的点P(化，y)的全体，称为点P的6邻域，记为 U(Po,),即 U(P,δ)={P:|PPKδ} 或 U(P,δ)={(x,yV(x-xo)2+(y-yo)2<6}
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 点P的去心6邻域，记作U(P,),即 U(P,6)={P:0<PPk6} 如果不需要强调邻域的半径6则用U(P)表示点P的某个邻域，点P的去心邻域记作 U()。· 点与点集之间的关系： 任意一点P∈R与任意一个点集EcR之间必有以下三种关系中的一种： (1)内点：如果存在点P的某一邻域UP),使得UPcE,则称P为E的内点。 (2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P),使得UP)nE=O,则称P为E的外点。 (3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点 为E的边点。 E的边界点的全体，称为E的边界，记作E。 E的内点必属于E;E的外点必定不属于E,而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。 (4)聚点：如果对于任意给定的0，点P的去心邻域U(P,6)内总有E中的点，则称 P是E的聚点. 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E,也可能不属于E。 例如，设平面点集E={x,y1<x+y≤2}，则满足1<x+y<2的一切点x,)都是E的内 点：满足x+y=1的一切点(x,y)都是E的边界点：它们都不属于E:满足x2+y=2的一切点 (化，y)也是E的边界点：它们都属于E;点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集。 闭集：如果点集的余集E为开集，则称E为闭集。 例如，E={,y1<x2+y2<2}是开集；E={(x,y1≤2+y≤2}是闭集； 集合{x, y)1<x+y≤2}既非开集，也非闭集。 连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E,则 称E为连通集。 区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域。 例如，E={化，y1<x2+y2<2}是区域。 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 例如，E={x,y1≤2+y2≤2}。 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 有界集：对于平面点集E,如果存在某一正数”，使得 EcU(O,r), 其中O是坐标原点，则称E为有界点集。 无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。 例如，集合{x,y1sx+y≤2}是有界闭区域：集合{x,y川x+>1}是无界开区域；集合{， y川x+21}是无界闭区域。 2.n维空间 n元有序实数组(x,x2,…,xn)的全体构成集合 R”={(x,x2,…,xn)x,∈R,i=1,2,…,n}。 元素(x,x2,…,xn)通常也用单个字母x表示，x称为x的第i个坐标。 在R”中定义线性运算如下： 设x=(G,2,,xn),y=(y,2,…,y)为R”中的任意两个元素，元∈R，规定： x+y=(x1+,x2+y2,…,xn+yn), 九x=(入x,九x2,…,xn) 这样定义了线性运算的集合R”称为n维空间。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 V=nrh. 这里，当r,h在集合{(r,h)r>0,h>0内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。 例2一定量的理想气体的压强卫、体积V和绝对温度T之间具有关系 其中R为常数.这里，当V、T在集合{(V,T)V>0,T>T,}内取定一对值(V,T)时，p的 对应值就随之确定。 例3设R是由电阻R,、R,并联后的总电阻，由电学知道，它们之间
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 的关系为 R-Rk R+R2 当R,、R2在集合(R,R2R)0,R2)0}内取定一对值(R,R2)时，R的对应值就随之确 定。 抽象出上面三个例子的共性，给出二元函数的定义如下： 定义1设D是R的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元函数，通 常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D(或z=f(P),P∈D). 其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量. 数集 {2z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域。 z是x,y的函数也可记为z=z(x,y),z=p(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数4=f(x,y,z)以及三元以上的函数.一般的，把定义1中的 平面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地可以定义n元函数 u=f(x1,x2,…,xn).n元函数也可简记为u=f(P),这里点P(x1,x2,…,xn)∈D,当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时，n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达 的多元函数u=∫(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域.例如，函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x+y)x+y>0} (图9-2)，就是一个无界开区域.又如，函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为 x+yx2+y2≤1} (图9-3)，这是一个有界闭区域
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 设函数z=f(x,y)的定义域为D.对于任意取定的点P(x,y)∈D,对应的函数值为 z=f(x,y).这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点 M(x,y,z）.当(x,y)遍取D上的一切点时，得到一个空间点集 {(x,y,z)z=f(x,y),(x,y)ED;, +V- 图9-2 图9-3 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限 定义2设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,yo)是D的聚点.如果存在常数A, 对于任意给定的正数E,总存在正数6，使得当点P(x,y)∈DOU(P,)时，都有 f(x,y)-A<￡成立，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→（化，y)时的极限，记作 .lim f(x,y)=4, (,-→(o) 或 f(x,y)→A（(x,y)→(x,yo)). 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y。)时，函数 都无限接近于A.因此，如果P(x,y)以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 P(x,y。)时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但 是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于P(x,y,)时，函数趋于不同的值，那么就可以 5
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形。 考察函数 y x2+y2 x2+y2≠0， f(x,y)= 0, x2+y2=0, 显然，当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时， im,y)=lim/,0)=0; 又当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时， lim f(x,y)=lim f(0,y)=0. (x,y)+0.0) y→0 x=0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式（沿x轴或沿y轴）趋于原点时函数的极限存在并且 相等，但是，limf(x,y)并不存在.这是因为当点P(x,y)沿着直线y=趋于点(0，O)时， (x,y)→00)1 有 y kx2 k lim x,0,0)x2+y210 0x2+k2x=1+k2' y=在 显然它是随着k的值的不同而改变的。 例3求lim sin(xy) (x,y)→02x 解 这里fx,)=sn(四的定义D={x,y水≠0，y∈R},B(0,2)为D的聚点。 x 由极限运算法则得 lim sin(xy)=lim (x,)0,2)x sin(x).limy=1.2=2. 0 xy 2 四、多元函数的连续性 定义3设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,y。)是D聚点，且P∈D.如果 lim f(x,y)=f(xo,yo), (x,y)→(x00) 则称函数f(x,y)在点P(x,yo)连续. 如果函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数f(x,y)在D 内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数.二元连续函数的图形是一个无孔，无缝的曲面. 6
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 定义4设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,y)是D聚点，如果函数f(x,y)在 点P(xo,yo)不连续，则称P是f(x,y)的间断点。 这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线， 函数∫(x,y)没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点， 都是函数f(x,y)的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 x2+2, x2+y2≠0， f(x,y)= 0, x2+y2=0, 当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数 1 Z=Sin x2+y2-1 在圆周x2+y2=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点. 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.即多元连续函数的和、差、 积仍为连续函数：连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续 函数。 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得 到的，能用一个式子表示出来的多元函数，称为多元初等函数。 多元初等函数在其定义区域上都是连续的。 例4求lim x+y (x,→12)xy 解函数f化，)=+上是初等函数，它的定义域为 D={(x,y)x≠0，y≠0}. 因D不是连通的，故D不是区域.但D1={(x,y)x>0,y>O}是区域，且DCD,所 以D是函数f(x,y)的一个定义区域.因P(I,2)∈D,故 >
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 3 lim x+y=f1,2)= x,-1,2)xy 如果这里不引进区域D,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P(1,2)处是连续的： 因P,是f(x,y)的定义域D的内点，故存在P的某一邻域U(P)cD,而任何邻域都是区 域，所以U(P)是f(x,y)的一个定义区域，又由于f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点 P处连续， 般地，求limf(P),如果f(P)是初等函数，且P是f(P)的定义域的内点，则f(P) 在点P处连续，于是limf(P)=f(P). 例5求lim Vy+1-1 (x,r)→0.0) Xy 解lim Vy+1-1 lim y+1-1 =lim 1-1 (x,y)-→(0,0) Xy =00y(Vy+1+)=0.0Vy+1+12 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有 界，且能取得它的最大值和最小值。 性质1就是说，若P)在有界闭区域D上连续，则必定存在常数0，使得对一切PD, 有(P)sM且存在P、P2∈D,使得 fP)=max{P)lP∈D},P2)=min{P)lP∈D}, 性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之 间的任何值。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域 或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P。处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点的函数值，即 lim f(P)=f(P) P→P 小结：本讲将函数概念、极限概念及连续性概念推广到，给出了二元函数的函数概念、极限 概念及连续性概念。很自然地把这些概念推广元函数。一元函数中关于极限的运算法则
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 对于多元函数仍然适用。一切多元函数初等函数在定义区域内连续。有界闭区域上连续的多 元函数有与在闭区间上连续的函数类似的性质。本讲还讨论了如何求一些简单的多元函数的 极限