高等数学教案 第十二章无穷级数 第五节函数的幂级数展开形式的应用 教学内容：幂级数在近似计算中的应用 教学目标：掌握利用函数的幂级展开式进行近似计算的方法 教学重点：幂级数在近似计算中的应用 教学难点：幂级数在定积分计算中的应用 教学方法：讲授法 作 业：P2931,2 教学过程： 有了函数的幂级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上， 函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来. 例1计算240的近似值，要求误差不超过0.0001. 解因为240=243-3=30-35， 所以在二项展开式中收m=分X=子，即得 240=30-1.1-14.114.91 53452.2385到32…）. 这个级数收敛很快取前两项的和作为√240的近似值，其误差（也叫做截断误差）为 534+49.1+4914.1 2.238+53亚+30436+） <32+对+分+门 6,1,1 1 25381-J25-27-4020000 81 于是取近似式为24030-写》。 为了使“四舍五入”引起的误差（叫做舍入误差）与截断误差之和不超过104，计算时应 取五位小数，然后四舍五入.因此最后得 240≈2.9926 例2计算ln2的近似值，要求误差不超过0.0001. 解在上节例5中，令=1可得 -1
高等数学教案 第十二章无穷级数 如果取这级数前n项和作为In2的近似值，其误差为 n+1 为了保证误差不超过104，就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了， 我们必需用收敛较快的级数来代替它. 把展开式 I(I+x)=x-x2+x_x4 234+…+(←0y n++…(-l<xs1) 中的x换成-x,得 h1-=号号其…sr0】 两式相减，得到不含有偶次幂的展开式： =nl+x)-lnl-)=2+号++…)-1<x<0. 1-x 令告-2，解出x兮以x号代入最后一个民开武府 2-2对5为) 如果取前四项作为ln2的近似值，则误差为 +2刘h实B克) 品++哈2+小 211 301-14-39700000 9 于是取】 224对+5+5+7岁》 同样地，考虑到舍入误差，计算时应取五位小数： 号0383.写月01235，号30082.73*0007. 因此得In2≈0.6931. 例3利用s血xx司P求sn9的近似值，并估计误差 解首先把角度化成弧度， 9”=及0x9(弧度)=元（孤度）. 180 20 从而 sin交≈文_z月 202031201 -2
高等数学教案 第十二章无穷级数 其次，估计这个近似值的精确度。在$如X的幂级数展开式中令x一无得 血务品-别》 等式右端是一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少.取它的前两项之和作为 s血无的近似值，起误差为 300000 因此取 2无0157080， π ≈0.003876 于是得sin9°≈0.15643. 这时误差不超过105 例4计算定积分 :的近似值，要求误差不超过0.0001（取 左056419). 解将e的幂级数展开式中的x换成-×，得到被积函数的幂级数展开式 e2=1++-x22,23 2 3+. 2-帝(c. 于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积，得 云o异变r72 =左0-2+25227) 1 前四项的和作为近似值，其误差为 lss行294‘000 1 所以 例5计算积分 -3
高等数学教案 第十二章无穷级数 sinxx b x 的近似值，要求误差不超过0.0001 解由于lim x=1,因此所给积分不是反常积分.如果定义被积函数在0处的 x->0 X 值为1，则它在积分区间[0,1]上连续。 展开被积函数，有 sinx=1-x2+xx6 3+元+…(0<x<+0）). 在区间[0,1]上逐项积分，得 sin=1-1+1-1 33155317.7刀 因为第四项 1 1 7.7130000 所以取前三项的和作为积分的近似值： *1353-09461 x -4-