高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 总习题十一 1.填空 (I)第二类曲线积分」P+O+Rdb化成第一类曲线积分是 ,其中、 B、y为有向曲线弧T上点(x,y,z)处的 的方向角 解「(Pcosa+-QcosB+Rcosy))ds,切向量. (2)第二类曲面积分 [Pdydz-+Qdzd+Rdy化成第一类曲面积分是，其中a、 B、y为有向曲面Σ上点（化，八，z)处的 的方向角 解 [K(Pcosa+-QcosB+-Rcosy)aS,法向量， 2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设曲面Σ是上半球面：x2+y2+z2=R(≥0)，曲面Σ1是曲面Σ在 第一卦限中的部分，则有 ws-4:ims-s os-46:o=4oas 解(C. 3.计算下列曲线积分： ()Vx2+y2,其中L为圆周x2+y2-m 解L的参数方程为x=受+号c0s0,y=受血80s2故
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 VR+y严=fad=Vamr©o)+ygd0 =g2n+cosd0=g12cos号0 年∫Icos=-a(costd--cos0-2a2(这里令1=号 (2)2dk,其中r为曲线x=c0s4y=sin4,2=40≤≤o [ds=(cost-tsin)+(sint+icost)+ld =2+h=2+邵-25 (3)(2a-y+xd,其中L为摆线x=a1-sin),y=a(1-cos)上对应1从0到2π的一段 弧； 解2a-Wdk+xd=了[2a-a+acos)-al-cos）+at-sint)-asintlt -d "isintdi=-2na2. (④)「02-z2)+2z-x2db,其中Γ是曲线x=4,y=,2上由听0到=1的一段 弧； 解「02-2)k+2yzd-x2dk=0u4-)1+22.21-2-32h =-24+30h=药 (⑤)(siny--2y)dk+(e*cOsy--2),其中L为上半圆周(r-aP+y-,20,沿逆时针 方向； 解这里P=ein-2Q=ecos)-2,80_2=ec0sy-ccosy+2=2. Ox dy 2
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 令L,为x轴上由原点到(2a,O)点的有向直线段，D为L和L1所围成的区域，则由格林公式 {esmv-2+ecosr-24-小gh -2Sdxdy=na2, D [(e'sin y-2y)dx+(e*cosy-2)dy=2-[(e*siny-2y)dx+(ecosy-2)dy =m2-20dk=m2. (6)9zd也，其中「是用平面)-z截球面x2+y+2=1所得的截痕，从z轴的正向看去，沿 逆时针方向. 解曲线T的般方程为2+2+=，其参数方程为 y=Z 2 x=cost,y=- 方sin1,z=2sint,t从0变到2元 于是 zt=cos2 -costdt 2 16 4.计算下列曲面积分： ds 2,22,其中Σ是界于平面-0及H之间的圆柱面x 解-21+22，其中 2:x=VR2-y严，Dw:-RSR0ssH,dS=R dvdz; R2-y2 3
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 E:x=-R2-y2,Dy:-RsysR.0s=sH.dS=-R dvd. 于是 =2z arctanH (2)jjy2-2dd+(e2-x)ddk+(x2-y)dd,其中2为锥面 z=Vx2+y2(0≤z<)的外侧； 舒这x器号+器-0 设Σ，为z=(x+y≤h的上侧，2为由Σ与1所围成的空间区域，则由高斯公式 JJ(y2-z)dbyd-+(z2-x)d-d+(x2-y)dxdy= 尝器器w-0 E+Σ 而 JJy2-2)dvdz+(z2-x)chedx+(x2-y)cbxdy=[fx2-y)dbrdy [yddo(corsinoo 所以 [Ky-dyd+(-xdzdb+(dd ③)小rdk+bdk+zd水，其中工为半球面z=VR2-r2-的上侧： 4
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 解设Σ1为xOy面上圆域x2+y2≤R2的下侧，2为由Σ与Σ1所围成的空间区域，则由高斯 公式得 到+水+a紧器是w 2 -h=3y号aR)=23, 而 小rdk+k+ad=hd=小ohd=0=0, D 所以 [Jxdydz+ydedx+zdxdy-2rR3-0-2rR3. ④+d,其中Σ为曲面1--2Y,e≥0的上侧 V(x2+y2+22) 516 9 解这里P=青，Q=片，R=导，其中r=2+严+2. OP1 3x2 001 3y2 OR1 322 架0-月4￥-0 dx dy dz r3 r5 设3，为0(“，2+Cy≤)的下侧，Q是由Σ和2所围成的空间区域，则由高斯公 式 -隈器… 5
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 xchdtyddzd xdydz +ydzdx+zdxdy Vx2+y2+z23 x2+y2+22) 0 =dxdy=0. (⑤小z,其中2为球面x+21(x20,20)的外侧. 解=1+2，其中1是z=V1-x2-y2(2+y2≤1，x≥0，≥0)的上侧： 22是z=-V1-x2-y2(2+y2≤1，x20,y20)的下侧， -ooy =小wir--小o(←i-严w =2j小ovi-x2-d=2fa0小os9sim9-p2pd0 =sm2a0p2pt号 5.证明+边在整个x0平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二 x2+y2 元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 解这里P=,Q-显然区饭G是单选道的，P和Q在G内具有阶 连续偏导数，并且P=-2y0g y(x2+y270x 6
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 所以+心在开区域G内是某个二元函数K,)的全微分. x2+y2 沙-+-=++C x,W-02+y2 6.设在半平面x>0内有力F=一 (+刀构成为场其中k为常数p=V+少 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关 解场力沿路径L所作的功为 因为 3 P和Q在单连通区域0内具有一阶连续的偏导数，并且北并y=架，所以上达曲线 积分所路径无关，即力场所作的功与路径无关 7.求均匀曲面z=√a2-x2-y2的质心的坐标 解这里x:z=Va2-x2-y2,x,)eD={k,r2+2≤d3 设曲面Σ的面密度为p1,由曲面的对称性可知，x=下=0.因为 ∫eas=ja2-r-yV+22+d=afdk=m2, D jas=24nm2=2m2,所以 z=m3= 2ma2=2 因此该曲面的质心为(0,0，号). 8.设x,y)、(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正 向边界曲线.证明：
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 ah=-水raddv+品： 其中可、分别是4V沿的外法线向量n的方向导数，符号△产+称为二维拉 普拉斯算子， 证明设L上的单位切向量为T=(cosa,sina),则n=(sin&,cosa). k-0snaoadw-一gosa+0snaw -层尝-哈会尝器器 -含架器h+小学亲 所以 auh=一adradv+0k sincosincosahd ay --号+0cor祭0mah 层会尝 8
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 ua+un8动 dv2 ay dy =尝总）尝+0h=小Av-vAuyr 9.求向量A=xi+y+zk通过闭区域2={(x,八，z)0<≤1,0s1,0<z≤1}的边界曲面流向外侧 的通量、 解设Σ为区域2的边界曲面的外侧，则通量为 -小++-器器-d=3 10.求力F与+z+xk沿有向闭曲线Γ所作的功，其中T为平面x+y+z=1被三个坐标面所截 成的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向 解设Σ为平面x++z=1在第一卦部分的下侧，则力场沿其边界L(顺时针方向)所作的功 为W=fydk+z水+xdb。 曲面Σ的的单位法向量为n=- 方L,L)=-(cou.oo),由斯托克据公式有 cosa cosB cosy W- a ds Ox y 0z 5-11-5=5西=5m号-号
