吉养 通过前面的几节讨论可知，幂级数∑a在它的收敛 n=0 区间内可以用和函数 表示。反过来，对给定的函 数f(能否将它在某一区间上“表示成幂级数”，或 者说，能否找到这样的幂级数：它在某一区间内收敛， 且其和恰好等于给定的函数1。； 如果能找到这样的幂 级数，我们就称函数 在该区间内能展开成幂级数。 为此，以下先介绍泰勒级数的概念，然后介绍函数展 开成幂级数的方法。 翮
通过前面的几节讨论可知，幂级数 在它的收敛 区间内可以用和函数 表示。反过来，对给定的函 数 ，能否将它在某一区间上“表示成幂级数”，或 者说，能否找到这样的幂级数：它在某一区间内收敛， 且其和恰好等于给定的函数 。如果能找到这样的幂 级数，我们就称函数 在该区间内能展开成幂级数。 为此，以下先介绍泰勒级数的概念，然后介绍函数展 开成幂级数的方法。 0 n n n a x = s x( ) f x( ) f x( ) f x( )
5.5函数展开成幂级数 5.5.1泰勒级数的概念 5.5.2初等函数展开成幂级数 涵 5.5.3函数的幂级数展开式的应用
5.5.1 泰勒级数的概念 5.5函数展开成幂级数 5.5.2 初等函数展开成幂级数 5.5.3函数的幂级数展开式的应用
5.5.1泰勒级数的概念 1.泰勒公式 我们先讨论函数本身就是一个多项式函数的情 形。设 f(x)=4+a1(x-x)+a2(x-xo)2+…+an(x-x)” 对f(逐次求导得 t f(x)=a1+2a(x-x)+.+nan(x-xo)"-, f"(x)=2a2+31a3(x-xo)++n(n-1)an(x-xo)"-2 f”m(x)=lan
5.5.1 泰勒级数的概念 1. 泰勒公式 我们先讨论函数本身就是一个多项式函数的情 形。设 n n f (x) a a (x x ) a (x x ) ... a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 + + − 对 f (x 逐次求导得 ) ( ) ! . ......, ''( ) 2 3! ( ) ... ( 1) ( ) , '( ) 2 ( ) ... ( ) , ( ) 2 2 3 0 0 1 1 2 0 0 n n n n n n f x n a f x a a x x n n a x x f x a a x x na x x = = + − + + − − = + − + + − − −
把x=代入 f(x),f'(得.，f(x), f(xo)=ao,f(xo)=af"()=21azf(()=nla. 也即， a-4a n 于是有， =rf-+a-t+a-s6
把 x = 代入 x0 ( ), '( 得 ),..., ( ), ( ) f x f x f x n ( ) , '( ) , ''( ) 2! ,..., ( ) ! . 0 ( ) 0 0 0 1 0 2 n n f x = a f x = a f x = a f x = n a 也即， , ! ( ) ,..., 2! ''( ) ( ), '( ), 0 ( ) 0 0 0 1 0 2 n f x a f x a f x a f x a n = = = n = 于是有， ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . 2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x n = + − + − + + − （5-6）
由式（5-6)可以看出，多项式函数的各项系数是由 函数在点 的函数值及各阶导数值所确定的。 那么，对于任意一个函数f(x),如果它存在各阶导数， 是否也可以写成式（5-6)右边的形式呢？下面的泰 勒定理给出了答案。 的喝 定理5-10如果f(x)在含有x,的某个开区间(a,b) 内具有直到 n+1阶的导数，那么对任意x∈（至） 少存在一点5是介于x。与x之间，使得
由式（5-6）可以看出，多项式函数的各项系数是由 函数在点 的函数值及各阶导数值所确定的。 0 x x = 那么，对于任意一个函数 ，如果它存在各阶导数， 是否也可以写成式（5-6）右边的形式呢？下面的泰 勒定理给出了答案。 f (x) f x( ) 0 x ( , ) a b n+1 定理5-10 如果 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数， x a b ( , ) x0 x 那么对任意 ,至 少存在一点 是介于 与 之间，使得
f(x)=f(x)+f'(x)(x-)+ 9x (5-7) 证明略。 式(5-7)称为函数的泰勒公式，其中最后一项 R(x) fm+(5) (x-xo)"+I 称为拉格朗日型余项。 当 (n+1)！ n=0时，泰勒公式就成为第2章的拉格朗日公式。 因此，可以说泰勒定理是具有高阶导数的中值定理
2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x f x x x − = + − + ( ) ( 1) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! n n n n f x f x x x x n n + + + + − + − + （5-7） 证明略。 式（5-7）称为函数的泰勒公式，其中最后一项 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x 称为拉格朗日型余项。 当 n = 0时，泰勒公式就成为第2章的拉格朗日公式。 因此，可以说泰勒定理是具有高阶导数的中值定理
2.泰勒级数 由泰勒公式知，如果函数f(在点【 的谋邻域内有 阶导数+则对于该邻域内的任意一点，有 f-+fXa-2e- 褐 ++(r-x）+R( n! 其中 0得是介于与之间的媒个植。 觳
2. 泰勒级数 由泰勒公式知，如果函数 在点 的某邻域内有 阶导数，则对于该邻域内的任意一点，有 f x( ) 0 x n+1 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n = + − + − + + − + 其中 , 是介于 与 之间的某个值。 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + 0 x x
可以设想，如果函数f(在点 的某邻域内有任意 阶连续导数，且 1im则在該邻域内函数可展开成 n>00 幂级数形式： f)+/xXx-)+f"x-x}+…+fx-+ 21 n! 下面的定理对这一设想给出了肯定的回答。 定理5-11 设幂级数乏()的收敛区间为 在x区间'∫（内 n=0 n! 存在任意阶的导数，则在区间 x-x<R
可以设想，如果函数 在点 的某邻域内有任意 阶连续导数，且 ，则在该邻域内函数可展开成 幂级数形式： f x( ) 0 x lim ( ) 0 n n R x → = ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n + − + − + + − + 下面的定理对这一设想给出了肯定的回答。 定理5-11 设幂级数 的收敛区间为 在 区间 内 存在任意阶的导数，则在区间 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n = − 0 | | x x R − f x( ) 0 | | x x R − 0 | | x x R −
内a--5-8) n=0 成立的充分必要条件是：f(x的泰勒公式的余项当) 时的极限为零，即 mR0-ea白(x-1-0 (n+1)川 证明略。 式（5-8)右边的级数 X-+--+-xy+ 21 n! 称为f(在点 处的泰勒级数。当 时，=0
内 (5-8) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x x x n = = − 成立的充分必要条件是： 的泰勒公式的余项 当 时的极限为零，即 f x( ) ( ) R x n n → ( 1) 1 0 ( ) lim ( ) lim ( ) 0 ( 1)! n n n n n f R x x x n + + → → = − = + 证明略。 式（5-8）右边的级数 ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n + − + − + + − + 称为 f x( )在点 x x 处的泰勒级数。当 = 0 时， 0 x = 0
泰勒级数为 f0+f0)x+f"0x++0 2刻 n 称为f(的麦克劳林级数。 注：由上一节的定理5-9中的(3)可知，如果函数f(能在 某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每 点处具有任意阶的导数。即没有任意阶导数的函数不 能展开成幂级数。 函数的麦克劳林级数是的幂级数，可以证明，如
泰勒级数为 ( ) 2 2 (0) (0) (0) (0) 2! ! n f f f f x x x n + + + + + 称为 f x( ) 的麦克劳林级数。 注：由上一节的定理5-9中的(3)可知，如果函数 能在 某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每 一点处具有任意阶的导数。即没有任意阶导数的函数不 能展开成幂级数。 f x( ) 函数的麦克劳林级数是 x 的幂级数，可以证明，如