3.1不定积分 问题的提出 我们知道 反之，“=(？) 41 u+1 本章所讲的内容就是导数的逆运算
问题的提出 我们知道 反之， 本章所讲的内容就是导数的逆运算 3.1 不定积分 x (?) = 1 1 x + = + x 1 1 x x + + =
3.1不定积分 3.1.1原函数与不定积分的概念 3.1.2基本积分公式 3.1.3不定积分的运算性质 3.1.4换元积分法 1.第一类换元法 2.第二类换元法 3.1.5分部积分法 3.1.6有理函数的不定积分 3.1.7积分表的使用（自学）
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的运算性质 3.1.4 换元积分法 1.第一类换元法 2.第二类换元法 3.1.5 分部积分法 3.1.6 有理函数的不定积分 3.1 不定积分 3.1.7 积分表的使用(自学)
3.1.1原函数与不定积分的概念 定义3- 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数 1为fx),即x∈1，都有F(x)=f(x),或 dF(x)=f(x)dk,则函数F(x)就称为f(x) 在区间I内原函数 例 涵 (sinx)=cosx sinx是cosx的原函数， 秋私 =(x>0 lnx是在区间(0，+oo)内的原函数
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义3- 如果在区间I 内，可导函数F(x)的导函数 1 dF(x) = f (x)dx，则函数F(x)就称为 f (x) 为 f (x)，即x I，都有F(x) = f (x)，或 在区间I内原函数. 3.1.1 原函数与不定积分的概念
问题 ()原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 例（x2）=2x 潮 (x2+C）=2x (C为任意常数)
问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 ( ) 2 x x2 = （ C 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ ( ) 2 x C x2 + =
定理3-1若F(x)=f(x),则对于任意常数 C, F(x)+C都是f(x)的原函数. 证若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) [F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. 证 若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） （ C 为任意常数） 定理3-1
定义3-2在区间I内，函数f(x)的原函数 的全体Fx+C,称为f(x)在区间I内的 不定积分，记为f(x). dF(x)+c 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 积分常量
积 分 常 量 积 分 号 被 积 函 数 在区间I内，函数 f (x)的原函数 f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 的全体 F(x)+C，称为 f (x)在区间I内的 不定积分，记为 f (x)dx. 定义3-2
注1若已知Fx)是fx)在区间中的一个原函数， 则有 「f(x)d=F(x)+C !注2不定积分和原函数是总体与个体的关系 涵 不定积分是一个集合，原函数则是该集 超 合中的一个元素
注1 f x dx F x C ( ) = + ( ) . 注2 若已知F (x)是f (x)在区间I中的一个原函数, 则有 不定积分和原函数是总体与个体的关系. 不定积分是一个集合，原函数则是该集 合中的一个元素
之例1求∫x5c. 解 〔)x小c 例2求 剂 解 (arctanx)= 1+x29 秋秘 ∫十e&=arctan.x+C
例1 求 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x = . 6 6 5 C x x dx = + 解 例2 求 2 1 1 dx + x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = arctan . 1 1 2 = + + dx x C x
如设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 y=2x, dx 即f()是2x的一个原函数 溺 潮 .[2xdx=x2+C,f(x)=x2+C, 凝 由曲线通过点（1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
如 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +
函数f(x)的原函数的图形 称为f(x)的积分曲线. 求不定积分得到一积分曲线族 涵
函数 f (x)的原函数的图形 称为 f (x)的积分曲线. 求不定积分得到一积分曲线族
