华东理工学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 特征值问题与二次型

特在值问题当二次型 第一节方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向的概念 >二、 特征值与特征向的求法 三、特征值与特征向的性质 >四、小节、思考题

第一节 方阵的特征值与特征向量 特征值问题与二次型 一、特征值与特征向量的概念 三、特征值与特征向量的性质 二、特征值与特征向量的求法 四、小节、思考题

一、特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵，如果数2和n维非零列向量x 使关系式 Ax=Ax 成立，那末，这样的数称为方阵A的特征值，非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量. 说明1.特征向量≠0，特征值问题是对方阵而言的. 2.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A一2I)x=0有非零解的2值，即满足方程A-I =0的2都是矩阵A的特征值. 返回

说明: 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A I x A I n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称为 的对应于特征值 的特征向量 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

3.A-I=0 411-2 12 Ajn → L21 022-1 Q2n =0 。。 ，。 An An2 … -2 称以2为未知数的一元n次方程A一2I=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-2I,它是的n次多项式称其 为方阵A的特征多项式. 上页 返回

3. A− I = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− I = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− I ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

4.设n阶方阵A=(a)的特征值为21,22，， n,则有 (1)21+22+…+n=11+22++m (2)122n=A. 证：1)由2u-A=(2-)(2-22)(见-) 2-11 一12 Ain -21 λ-l22 -a2n -4n2 … 上页 返回

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (2) . 12  n = A 证：(1) ( )( ) ( ) A 1 2 n 由I − =  −   −    −  n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − =           1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 (1) 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann；

比较第二个等号两端2"-项的系数，知 等号左端2"-的系数为 -(2+22+…+2n) 而根据行列式的展开定义，知右端2”-项的系数为 -(a11+22+·+0m) 由同次项系数应该相等，知成立 (1)1+2+…+2n=411+022+…+0m; 证：(2)由A-2I=(2-2)(22-2).(2m-2), 既然是等式，即对入的任意取值都成立，故以 2=0代入上式，即得 (2)222…2n=A. 上页 返回

比较第二个等号两端  n−1项的系数，知 ( ) − a11 + a22 ++ ann 而根据行列式的展开定义，知 右端  n−1项的系数为 等号左端  n−1的系数为 ( ) − 1 + 2 ++  n 由同次项系数应该相等，知成立 (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann 证：(2) 由A− I = (1 − )(2 − )(n − )， 既然是等式，即对  的任意取值都成立，故以  = 0代入上式，即得 (2) . 12  n = A

二、特征值与特征向量的求法 1求4-( 的特征值和特征向量， 解A的特征多项式为 3-九 -1 A-M= =(3-2)2-1 -13-元 =8-62+λ2=(4-2)(2-2) 解特征方程A-2I=0 即得A的特征值为几1=2，几2=4. 上页 返回

二、特征值与特征向量的求法 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量      − − A = A的特征多项式为   − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 1 2 即得A的特征值为 =  = A− I = 解特征方程 A− I = 0 解

当入，=2时，对应的特征向量应满足 即 X1-X2=0, 一X1+X2=0. 解得=，所以对旋的特征向基取为p-什：4 当入2=4时，由 3U-8 上页 返回

      =               − − − − = 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 2 1 1 x x 当 时 对应的特征向量应满足    + = − = − 0. 0, 1 2 1 2 x x 即 x x , 解得x1 = x2 , 0. 1 1 1          所以对应的特征向量可取 为 p = c c , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2       =               − − − −       =               − − − − = x x x x 即 当 时 由

解得X,=-X2,所以对应的特征向量可取为 =0 -11 0 例2求矩阵A= -430的特征值和特征向量 102 解 A的特征多项式为 -1-λ 1 0 A-= -4 3-λ 0 =(2-)1-2), 1 0 2- 上页 返回

, 0. 11 p,2 1 2    − = = − c c 解 得 x x 所以对应的特征向量可取 为 例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 (1 )2       = − − − − − − − A− I = A的特征多项式为

所以A的特征值为元1=2,22=3=1. 当入1=2时，解方(A-2I)x=0.由 -3 「100 10 A-2I= -4 10 0 10 、1 0 0 0 0 0 得基础解系 所以k卫，(k≠0)是对应于入1=2的全部特征向量 上页 返回

2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A− 2I)x = 0.由                       − − − = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ~ 1 0 0 4 1 0 3 1 0 A 2I , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 1 1 所 以k p k  是对应于 = 的全部特征向量

当入2=入3=1时，解方程(A-)x=0.由 2 1 0 71 01 A-I= -4 2 0 0 12 1 0 1 0 0 0 得基础解系 P2= 所以kP,(k≠0)是对应于入，-入，=1的全部特征 向量. 上页 返回

, 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A− I = 当2 = 3 = 1时,解方程(A− I)x = 0.由 , 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = 所以 ( 0)是对应于 2 3 1的全部特征 2 k p k   =  = 向量