华东理工学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的秩和线性代数方程组

C3短降的秋与摘性方灌组 第一节矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算 > 三、小结、思考题

第一节 矩阵的秩 Ch3 矩阵的秩与线性方程组 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算 三、小结、思考题

一、矩阵秩的概念 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤)，位于这些行列交处的个k2元素，不改 变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式 m×n矩阵A的k阶子式共有CW·C个 上页 返回

. , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m    一、矩阵秩的概念 矩 阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm C

定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话)全等 于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A的秩，记作r(A)并规定零矩阵的秩 等于零.即A=O台r(A)=0. m×n矩阵A的秩r(A)是A中非零子式的 最高阶数. 上页 返回

. ( ) 0. ( ) . 0 1 2 0 =  = + A O r A A r A D A r D r A r 等于零 即 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 . ( ) 最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 r A 是 A中非零子式的

注意： ()对于A',显然有r(A)=r(A): (2)r(A)<min(m,n). (3)若A有一个阶子式不为零，则r(A)≥k. (4)若A的所有k+1阶子式均为零，则r(A)≤k. (5)如2≠0，则r(2A)=r(A), (6)若A为n阶方阵，则r(A)≤n,且 r(A)=n→A≠0一A为可逆阵 上页 返回

(1) 对于 A T ， r(A ) r(A). T 显然有 = 注意：(2) r(A ) min(m, n). mn  (3)若A有一个k阶子式不为零，则r(A)  k. (5) 0, ( ) ( ). (4) 1 ( ) . r A r A A k r A k  = +  如 则  若 的所有 阶子式均为零，则 为可逆阵 若 为 阶方阵，则 且 r A n A A A n r A n =     ( ) 0 (6) ( )

例1求矩阵A:子-5的秩. 1 解在A中，二阶子式 1 2为N ≠0. 又：A的3阶子式只有一个A,且A=0, .r(A)=2. 上页 返回

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中，二阶子式 又  A 的 3阶子式只有一个 A，0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  r ( A ) = 2

例2求矩阵B = 的秩. 0 0 0 解B是一个“行阶梯形矩阵”，其非零行行， .B的所有4阶子式全为零 2-1 3 取自非零行首非零元所在列 而 03 -2 ≠0， r(B)=3. 0 0 4 说明行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数 上页 返回

例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩               − − − − B = 解  B是一个“行阶梯形矩阵”，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3 −  − 而  r(B) = 3. 取自非零行首非零元所在列 说明 行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数

例3i 知A= 求该矩阵的秩 解 :二阶子式 =2≠0，计算A的3阶子式， 3-2 132 3-22 1 -22 2-1 = 0023=D,-13 =00 -13=0, -2 0 1 -205015 -2 1 5 =0. ∴r(A)=2. 上页 返回

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  二阶子式 =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = =0, = 0, = 0. r(A) = 2

(1 3 -2 2 另解对矩阵A= 0 2 -1 3 做初等变换， -2 0 1 5 1 3-2 2 -22 得 0 2-13 2-13 -2 01 5 000 0 显然，非零行的行数为2， r(A)=2. 此方法简单！ 问题： 这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？ 上页

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − − 得 显然，非零行的行数为2， r(A) = 2. 此方法简单！ 问题： 这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？

二、矩阵秩的计算 定义3称满足以下两个条件的m×n矩阵为 行阶梯形矩阵： (1)每行的非零元（如果有的话）前的零元 个数比其上一行这种零元个数多； (2)如果某行没有非零元，则其下所有行的 元素全为零. 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1,且这些1所在的列的其它元素都是0，则称其 为行最简形矩阵

二、矩阵秩的计算 定义3 称满足以下两个条件的mn 矩阵为 行阶梯形矩阵： 个数比其上一行这种零元个数多； (1) 每行的非零元（如果有的话）前的零元 . (2) 元素全为零 如果某行没有非零元，则其下所有行的 为 ，且这些 所在的列的其它元素都是 ，则称其 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1 1 0 行最简形矩阵

定理1对于任何矩阵Amx,总可经过有限次初等 行变换把它变为行阶梯形矩阵 [证明略] 问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ 定理2若A~B,则r(A)=r(B) 证明略 上页 返回

. , 行变换把它变为行阶梯形矩阵 对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初等 问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ 定理 2 若 A ~ B,则 r(A) = r(B). 证明略 定理1 [证明略]