2.2初等函数的导数与求导法则 2.2.1几个基本初等函数的导数 2.2.2函数四则运算的求导法则 2.2.3反函数的求导法则 2.2.4复合函数的求导法则 2.2.5基本初等函数的求导公式 涵 2.2.6隐函数的导数 2.2.7对数求导法 2.2.8高阶导数
2.2.2 函数四则运算的求导法则 2.2.3 反函数的求导法则 2.2.6 隐函数的导数 2.2.1 几个基本初等函数的导数 2.2.4 复合函数的求导法则 2.2.7 对数求导法 2.2.8 高阶导数 2.2.5 基本初等函数的求导公式 2.2 初等函数的导数与求导法则
2.2.1几个基本初等函数的导数 1.求幂函数f(x)=x(n为正整数)的导数. 由三项式 Ay=(x+△x)”-xn 定理 =mA+m74++(a, 2 由导数定义 湿 lim 2-1 m △x-→0 △x △x→0 e4age+r nx-1 即 (x")'=x"1 (x“)'=x“(x>0,4∈R)
n n y = (x + x) − x 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) , 2 n n n n n nx x x x x − − − = + + + 1 2 1 0 0 ( 1) lim lim ( ) ( ) 2 n n n x x y n n nx x x x x − − − → → − = + + + . −1 = n nx 1 ( )' n n x nx − = 1 ( )' ( 0 ) x x x R − = ， 由导数定义 即 由二项式 定理 2.2.1 几个基本初等函数的导数 ( ) ( ) . n 1. 求幂函数 f x x n = 为正整数 的导数
2.正弦函数f(x)=sinx的导数 由导数定义 sin(x+△x)-sinx f(x)=(sinx)'=lim △x→0 △x △ 2sin △x sin lim cos(x+ 2 △x lim cos(x+) =cosx. △x→0 △x △x→0 △x 2 2 （sinx)=cosx 同理可得 (cosx)=-sinx
2. ( ) sin 正弦函数 f x x = 的导数 f x x ( ) (sin ) = 0 2sin cos( ) 2 2 lim x x x x → x + = x x x x x + − = → sin( ) sin lim 0 (sin cos x x ) = 由导数定义 (cos sin x x ) 同理可得 = − 0 sin 2 lim cos( ) cos . 2 2 x x x x x → x = + =
3.对数函数f(x)=log。x(a>0,a≠1)的导数 由导数定义 log1+ y'=lim log (x+h)-logx lim h-→0 h -→0 h X I log.(og. 1 xh-→0 xIna 极秋私 (o. (nx)'= 1-x #
( ) log ( 0, 1) . a 3. 对数函数 f x x a a = 的导数 h x h x y a a h log ( ) log lim 0 + − = → 1 (log ) ln a x x a = x x h x h a h 1 log (1 ) lim 0 + = → h x a h x h x lim log (1 ) 1 0 = + → 1 1 log . ln a e x x a = = 1 (ln ) x x = 由导数定义 #
2.2.2函数四则运算的求导法则 定理2-2 如果函数(x),v(x)在点x处可导，则u(c),±(x) 在点x处也可导，并且 [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x) 证：由导数定义 [a(x)±(x)=lim [W(x+△x)±v(x+△x)]-[(x)±v(x)] △x-→0 △x lim W(x+△x)-(x) ±lim v(x+△x)-v(x) △x→0 △x △x→0 △x =W'(x)+v'(x) 可推广到有限个函数的和差 ∑f(x川=∑x) 1
定理2-2 ( ), ( ) , ( ), ( ) , u x v x x u x v x x 如果函数 在点 处可导 则 在点 处也可导 并且 [ ( ) ( )] ( ) ( ) u x v x u x v x = 2.2.2 函数四则运算的求导法则 证：由导数定义 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x u x v x → x + + − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x u x x u x v x x v x → → x x + − + − = = u(x) + v(x) [ ( )] ( ) 1 1 f x f x n i i n i i = = 可推广到有限个函数的和差 =
2.2.2函数四则运算的求导法则 定理2-3如果函数(x),v(x)在点x处可导，则u(x),(x) 在点x处也可导，并且 [4(x)v(x)]=(x)(x)+u(x)v'(x) 证明略 。 f(x)]=C(x) f).c =f(xfx)…fn(x) +f(x)f'x)…fn(+ +f(x)f(x)…(x)
定理2-3 ( ), ( ) , ( ), ( ) , u x v x x u x v x x 如果函数 在点 处可导 则 在点 处也可导 并且 u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + (1) ( ) ( ) Cf x Cf x = 1 2 1 1 2 1 1 2 2 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )+ ( ) ) ( ) ) ( n i n i n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x x f x = = = + + 2.2.2 函数四则运算的求导法则 证明略
2.2.2函数四则运算的求导法则 定理2-4如果函数(x),v(x)在点x处可导，且v(x)≠0， 则(e 在点x处也可导，并且 v(x) u(x)v(x)-u(x)v'(x) v2(x) (v(x)≠0) 证明略 。 -秋私 一
定理2-4 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x − = 2.2.2 函数四则运算的求导法则 ( ), ( ) , ( ) 0 ( ) , ( ) u x v x x v x u x x v x 如果函数 在点 处可导 且 ， 则 在点 处也可导 并且 证明略
例1求y=x3-2x2+sinx的导数 解y'=3x2-4x+cosx. 例2求y=sin2xlnx的导数 解 .y=2sinx.cosx.Inx y'=2cosx·cosx.Inx+2sinx·(-sinx)lnx 涵 1 +2sinx·c0sx· ! X 1 =2 cos 2xInx+-sin 2x. X
例 1 2 sin . 求 y = x3 − x2 + x 的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x ln x的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
少例3求y=anx的导数. 解y=(anxy= nx COSX (sin x)'cos x-sinx(cosx)' cos2 x cos2x+sin2x 1 = sec"x cos2x cos2 x (tanx)'=sec2x. 同理可得 (cot x)'=-csc2x
例3 求 y = tan x的导数 . 解 sin (tan ) cos x y x x = = x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = 2 (tan ) sec . x x = (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x
例4求y=secx的导数 解y=划品】 1 -(cosx)'s sin x =secxtanx. cos-x cos2 x 涵 (secx)=secxtanx. 涵 同理可得 (cscx)=-cscxcotx
例4 求 y = sec x 的导数 . 解 1 (sec ) cos y x x = = x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 (csc x) = −csc x cot x. (sec sec tan . x x x ) =