1.2极限 1.2.1数列的极限 1.2.2函数的极限 1.2.3无穷小与无穷大 涵 1.2.4极限的运算法则 g1.2.5两个重要极限
1.2 极 限 1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 1.2.3 无穷小与无穷大 1.2.4 极限的运算法则 1.2.5 两个重要极限
1.2.4极限的运算法则 定理1-2（四则运算法则） 设在自变量x的某一个变化过程中，极限 Iimf(x)与Iimg(x)都存在，则 ()lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±Iimg(x) (2)lim[f(x)g(x)]=limf(x).limg(x) (3)lim f() lim f(x) g(x )limg(x) (img()≠0
定理1-2(四则运算法则） lim f x( ) (1 lim lim lim ) f x g x f x g x ( ) = ( ) ( ) ( ) (2 lim lim lim ) f x g x f x g x ( ) = ( ) ( ) ( ) 与 lim g x( ) 都存在,则 1.2.4 极限的运算法则 设在自变量x 的某一个变化过程中，极限 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) lim 3 lim , lim 0 lim f x f x g x g x g x =
说明：可推广到有限个函数的情形 推论1. lim[k f(x)]=k lim f(x) (k为常数) 推论2.im[f(x)]”=[limf(x)]” 涵 (n为正整数)
说明: 可推广到有限个函数的情形 . 推论 1 . lim[ ( )] lim ( ) k f x k f x = ( k为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 )
必例1 1im(x2+3x+7) x→1 lim x2+lim 3x+7 x→1 x→1 =(imx)2+31imx+7 x→1 1x>1 =1+3+7=11
2 1 2 1 1 lim( 3 7) lim lim3 7 x x x x x x x → → → + + = + + (lim ) 3lim 7 1 2 1 = + + → → x x x x =1+ 3 + 7 =11 例1
x+2 例2求lim x0x3-2x2+3 解：由极限的除法，加法法则得 x+2 lim (x +2) x->0 2 lim 0x3-2x2+3 lim(x3-2x2+3) 3 x→0 结论1：多项式函数和分母的极限不为零的分式 函数在一点处的极限值等于其函数值
例2 . 2 3 2 lim 3 2 0 − + + → x x x x 解： 3 2 lim( 2 3) lim( 2) 2 3 2 lim 3 2 0 0 3 2 0 = − + + = − + + → → → x x x x x x x x x 求 由极限的除法,加法法则得 结论1:多项式函数和分母的极限不为零的分式 函数在一点处的极限值等于其函数值
例3 lim 求 x2-3x+3 x>2 x2-x-2 分析 经观察可知分母的极限等于零，此时不能直接应 用除法法则，考虑到分子的极限不等于零，可先求其 倒数的极限。 解： 因为 lim x2-x-2 x>2 x2-3x+3 所以 lim x2-3x+3 x→2 x2-x-2 !结论2：当分母的极限等于零而分子的极限不为零 时，分式函数的极限等于无穷大
求 2 2 2 3 3 lim x 2 x x → x x − + − − 分析 经观察可知分母的极限等于零，此时不能直接应 用除法法则，考虑到分子的极限不等于零，可先求其 倒数的极限。 例3 因为 2 2 2 2 0 lim 0 x 3 3 1 x x → x x − − = = − + 解： 所以 2 2 2 3 3 lim x 2 x x → x x − + = − − 结论2:当分母的极限等于零而分子的极限不为零 时,分式函数的极限等于无穷大
例4求im x2-3x+2 x→2 x2-x-2 分析：经观察可知此题分子、分母的极限都等于零 (称为8型不定式)，不能应用除法法则，这是因 为分子、分母都包含着在x=2时为零的因子x一2。 此时可考虑先设法约去零因子，然后求极限。 解：a原式=lim (x-1)(x-2) (x-1) x→2 (x+1)(x-2)x→2 (x+1) 3
解： 原式= 3 1 ( 1) ( 1) lim ( 1)( 2) ( 1)( 2) lim 2 2 = + − = + − − − → → x x x x x x x x 求 2 3 2 lim 2 2 2 − − − + → x x x x x 分析：经观察可知此题分子、分母的极限都等于零 （称为 型不定式），不能应用除法法则，这是因 为分子、分母都包含着在x =2 时为零的因子x－2 。 此时可考虑先设法约去零因子，然后求极限。 0 0 例4
例5求mF-2 x-→4 x-4 解 经观察可知此题分子、分母的极限都等于零 用上面同样的方法，先考虑找分子、分母共同 腿 的零因子，约去零因子，然后求极限。 lim √x-2 √-2 1 1 =lim =lim 二 x→4 x-4 x4(Vx+2)(Vx-2) 4V+2 4 !结论3：当分母分子的极限都等于零时首先考虑 找出并约去使分母分子的极限为零的公因子
例5 . 4 2 lim 4 − − → x x x 解： 4 4 2 2 lim lim 4 ( 2)( 2) x x x x → → x x x − − = − + − 4 1 2 1 lim 4 = + = → x x 求 经观察可知此题分子、分母的极限都等于零， 用上面同样的方法，先考虑找分子、分母共同 的零因子，约去零因子，然后求极限。 结论3:当分母分子的极限都等于零时,首先考虑 找出并约去使分母分子的极限为零的公因子
心例6求m 4x2-3x+9 →00 5x2+2x-1 解：x→0时，分母→0，分子→0. 腿 分子分母同除以x2,则 涵 4 涵 原式= 4-3+9型 25+24 -5
求 解: 时, 分子 2 2 1 1 1 1 5 2 4 3 9 lim x x x x x + − − + = → 分子分母同除以 , 2 x 则 分母 原式 例6
必例7求 1 4x2-3x+9 x-0 5x3+2x-1 解：x→0时，分母→0，分子→0. 腿 分子分母同除以x3,则 涵 原式=lim4-3+93 :0 秋秘 x→00 5+2-为
求 解: 时, 分子 2 3 2 3 1 1 1 1 1 4 3 9 lim 5 2 x x x x x x → − + = + − 分子分母同除以 3 x , 则 分母 原式 例7