第4章多元函数微积分学 4.1空间解析几何简介 4.2多元函数的概念 4.3二元函数的极限与连续 4.4偏导数与全微分 涵 4.5二元复合函数和隐函数的微分法 4.6二元函数的极值 4.7二重积分
第4章 多元函数微积分学 4.1 空间解析几何简介 4.2 多元函数的概念 4.3 二元函数的极限与连续 4.4 偏导数与全微分 4.5 二元复合函数和隐函数的微分法 4.6 二元函数的极值 4.7 二重积分
4.1空间解析几何简介 4.1.1空间直角坐标系的建立 4.1.2 空间两点间的距离 涵 4.1.3常见的空间曲面
4.1 空间解析几何简介 4.1.1 空间直角坐标系的建立 4.1.2 空间两点间的距离 4.1.3 常见的空间曲面
4.1空间解析几何简介 4.1.1空间直角坐标系的建立 z竖轴 在空间任取一点0，过 点o作三条相互垂直的 直线0K,0y,0z,规定单位 定点 0 y纵轴 长度，并按右手规则 横轴x 确定其方向 空间直角坐标系
4.1.1 空间直角坐标系的建立 横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 在空间任取一点o，过 点o作三条相互垂直的 直线ox, oy, oz,规定单位 长度，并按右手规则 4.1 空间解析几何简介 确定其方向
空间直角坐标系的三个坐标面，将空间分成 八个卦限各卦限符号，如图所示 3(+) Zx面 z面 2（-,+,+) 4(4,,+ 1(+,+,+) y面 7,,-) 6(-,+,-) 5(+,+,-) 8(+2,-)
7(-,-,-) xy面 yz面 空间直角坐标系的三个坐标面，将空间分成 zx 面 x o y z 2 (-,+,+) 3 (-,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 8(+,-,-) 1(+,+,+) 4 (+,-,+) 八个卦限,各卦限符号，如图所示
·注1引进空间直角坐标系的目的是为了研究空 间曲线与曲面 注2对于空间中任意一点，都有唯一一个三元 有序数组化y,z)与之对应. D 涵 极食 空间的点←一1→有序数组(x,y,)
注1 引进空间直角坐标系的目的是为了研究空 注2 对于空间中任意一点，都有唯一一个三元 x o y z P P xy P x P y P z 空间的点 ⎯→ 有序数组(x,y,z). 1−−1 间曲线与曲面. 有序数组(x,y,z)与之对应
4.1.2空间两点间的距离 设P1化1y11),P2(K2y22)为空间任意两点.过P1 P,分别作平行于坐标平面的平面，这六个平面构成 一个以PP2为对角线的长方体，如下图所示，则其 三条边长分别为K1x2ly1y21z2,由勾股定理， 潮 得P与P2间的距离p为 -秋私 p=√x-+4-P+(2,-
4.1.2 空间两点间的距离 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ＝（x x y y z z − − − ）＋（ ）＋（ ）. 设P1 (x1 ,y1 ,z1 ) ,P2 (x2 ,y2 ,z2 )为空间任意两点.过P1 P2分别作平行于坐标平面的平面，这六个平面构成 一个以P1P2为对角线的长方体，如下图所示，则其 三条边长分别为|x1 -x2 |,|y1 -y2 |,|z1 -z2 |，由勾股定理， 得P1与P2间的距离ρ为
R0,0,z) B0,y,z） C(x,0,） M(x,y,) 通 XP(x,0,0) A(x,y,0) 漫 【注特别地，点PK,z)到原点O的距离为√x2+y2+z2
• M(x, y,z) x y z o P x( , 0, 0) Q y (0, , 0) R z (0, 0, ) A x y ( , , 0) B y z (0, , ) C x o z ( , , ) 注 特别地，点P(x,y,z)到原点O的距离为 2 2 2 x y z ＋ ＋
少例1证明：以点M1(4,3,1),M2(7,1,3),M3 (5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形. 证明：由于 |MM,=4-5)+3-2)2+1-3)2=6 1M2M,=7-52+1-2)2+2-32=6, 所以，M,M=MM,=6. 潮 即△M1M2M3是等腰三角形
例1 证明: 由于 1 3 M M 4 5 3 2 1 3 6 − − − 2 ＝（ ）2 2 2 ＋（ ）＋（ ）＝ ， 2 3 M M 7 5 1 2 2 3 6 − − − 2 ＝（ ）2 2 2 ＋（ ）＋（ ）＝ ， 1 3 2 3 M M M M ＝ = 6. 证明：以点M1 (4,3,1)， M2 (7,1,3)， M3 即△M1 M2 M3 是等腰三角形. 所以， (5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形
4.1.3 常见的空间曲面 如果曲面S与方程FK,y,z)=0之间存在这样的关系： (1)若点Mx,y,z)在曲面S上，则点M的坐标 M比，y,z)满足三元方程F化，y,z=0. (2) 若一组数x,,z满足方程F化，y,)=0,则点 湿 MK,y,z)就在曲面S上 称方程F化，，z)=O为曲面S的方程。 曲面S叫做方程F化，y,z)=0的图形
4.1.3 常见的空间曲面 如果曲面S与方程F(x, y, z)=0之间存在这样的关系： （1）若点M(x, y, z)在曲面S上，则点M的坐标 （2）若一组数x, y, z满足方程F(x, y, z)=0，则点 M(x, y, z)满足三元方程F(x, y, z)=0. M(x, y, z)就在曲面S上. 称方程F(x, y, z)=0为曲面 S的方程。 曲面S 叫做方程F(x, y, z)=0 的图形
【注空间的曲线可以看作是两个曲面的交线， 因此空间曲线的方程通常可以表示为： F(xy,z）=0 F(x,y,z)=0 湿 平面的方程Ax+By+Cz+D=O
注 空间的曲线可以看作是两个曲面的交线， 2 ( , , ) 0 . ( , , ) 0 F x y z F x y z = = 1 因此空间曲线的方程通常可以表示为： 平面的方程 Ax By Cz D + + + = 0