第一部分微积分的理论基础一一 极限与连续 一.极限的概念与理论 问题1极限概念的精确化历程 (1)朴素极限思想的萌芽 例1公元前五世纪古希腊雅典时期的形而上学学者芝诺(zno,约公元前 490-前430)提出的悖论：“神行太保”阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟。 例2公元前三世纪，据《庄子》中的天下篇记载，梁国的宰相惠施（名家， 庄子的好友)说： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 例3公元前五世纪，古希腊雅典时期诡辩学派的代表人物安提丰 （Antiphon,约公元前480-前411)，为解决“化圆为方”（作一个与给定的圆面 积相等的正方形)问题提出的“穷竭法”，后被古希腊数学家阿基米德 (Archimedes,公元前287-前212)用于求抛物线图形的面积。 例4三国时期魏国数学刘徽（公元225-295）用“割圆术”求圆周率 元57 3.14 50 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。” 中世纪（公元5-11世纪）的欧洲由于天主教的统治处于黑暗、衰落时期， 科学技术处于凝滞状态。 (2)极限概念是在微积分的创立和发展过程中逐步建立起来的 1)微积分的创立和发展 17世纪上半叶，自然科学迈入综合发展和突破的新阶段，需要数学新工具。 17世纪下半叶，牛顿(Newton,.1642-1727)与莱布尼兹(Leibniz,1646-1716) 在前人工作的基础，几乎同时分别独立创立了微积分，被恩格斯誉为“人类精神 的最高胜利”，引发了一场科学革命。 2)微积分缺乏稳固的基础，导致第二次数学危机 英国哲学家，红衣大主教伯克莱(G.Berkeley,1685-1753)在1734年发表 的小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分提出了尖锐的批评， 认为其中包含了“偷换假设”的逻辑错误，伯克莱集中攻击牛顿流数论中关于无 穷小量的混乱假设，从而引发了数学史上的第二次数学危机。 例用“流数术”求自由落体运动5=8t时刻的瞬时速度
1 第一部分 微积分的理论基础——极限与连续 一．极限的概念与理论 问题 1 极限概念的精确化历程 （1）朴素极限思想的萌芽 例 1 公元前五世纪古希腊雅典时期的形而上学学者芝诺(zeno，约公元前 490-前 430)提出的悖论：“神行太保”阿基里斯（Achilles）永远追不上乌龟。 例 2 公元前三世纪，据《庄子》中的天下篇记载，梁国的宰相惠施（名家， 庄子的好友）说： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 例 3 公元前五世纪，古希腊雅典时期诡辩学派的代表人物安提丰 （Antiphon，约公元前 480-前 411），为解决“化圆为方”（作一个与给定的圆面 积相等的正方形 ）问题提出 的“穷竭法 ”，后被古 希腊数学家 阿基米德 （Archimedes，公元前 287-前 212）用于求抛物线图形的面积。 例 4 三国时期魏国数学刘徽（公元 225-295）用“割圆术”求圆周率 3.14. 50 157 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。” 中世纪（公元 5-11 世纪）的欧洲由于天主教的统治处于黑暗、衰落时期， 科学技术处于凝滞状态。 （2）极限概念是在微积分的创立和发展过程中逐步建立起来的 1 。）微积分的创立和发展 17 世纪上半叶，自然科学迈入综合发展和突破的新阶段，需要数学新工具。 17 世纪下半叶，牛顿（Newton, 1642-1727）与莱布尼兹（Leibniz，1646-1716） 在前人工作的基础，几乎同时分别独立创立了微积分，被恩格斯誉为“人类精神 的最高胜利”，引发了一场科学革命。 2 。）微积分缺乏稳固的基础，导致第二次数学危机 英国哲学家，红衣大主教伯克莱（G. Berkeley，1685-1753）在 1734 年发表 的小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分提出了尖锐的批评， 认为其中包含了“偷换假设”的逻辑错误，伯克莱集中攻击牛顿流数论中关于无 穷小量的混乱假设，从而引发了数学史上的第二次数学危机。 例 用“流数术”求自由落体运动 2 2 1 s = gt t 时刻的瞬时速度
解给1增加一个无穷小增量“瞬”记为0，（莱布尼兹称为无穷小量，记为 山，s就从号r变为分8+oP,从面得到s的增量为 28u+o2- 28=810+580, 它们的“最初比”为 28u+oP-8 =81+280 将上式右端含o的项舍去，便得“最终比”5=g,就是所求的t时刻瞬时速度， 牛顿称5为s的一次流数。 伯克莱责问道：“上述算法中的增量o究竞是非零还是真零？若为非零，则 8g+80中的o就不能舍去：若为真零，则8+o-8r=0,因此，比值 1 +oF-sp 1 就变成无意义的。.”.“总之，不论怎样看，牛顿的流数术是不 0· 合逻辑的，它们只不过是‘消逝量的鬼魂’。”(“伯克莱悖论”) 虽然伯克莱的批评是出于宗教的动机，是企图说明流数原理并不比基督教义 “构思更清楚”、“推理更明白”，但是他的批评是击中要害的，问题的核心是什 么是无穷小量.实际上，牛顿在去世前已经认识到了这一点。他曾对微分学换了 几种讲述，在1687年出版的名著《自然哲学的数学原理》一书中，他对什么是 “最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无 限减小的量之比所趋向的极限。它们无限接近这个极限，其差可以小于任意给定 的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它。”但牛 顿并没有严格说清楚极限的含义，而且还保留了无限小瞬的观点。 3)无穷级数中所出现的“悖论” 早在微积分创立之前，人们就广泛地使用着无穷级数，微积分的发展与无穷 级数的研究是密不可分的。然而在极限概念没有精确化之前，牛顿在流数论中自 由地运用无穷级数，著名数学家欧拉(Eulr,1707-1783)等在无穷级数推理中也 得到了一些“悖论”。 例1将二项式定理形式地应用于(1-x),得 1 =(1-x)1=1+x+x2+x3+…, 1-x 在上式两端令x=2,有 -1=1+2+4+8+…, 这是欧拉得到的一个荒谬的结论。再将前式两端乘以x,得 X =x+x2+x3+x4+…, 1-x
2 解 给 t 增加一个无穷小增量“瞬”记为 o ，（莱布尼兹称为无穷小量，记为 dt ）， s 就从 2 2 1 gt 变为 2 ( ) 2 1 g t + o ，从而得到 s 的增量为 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 g t + o − gt = gt o + g o ， 它们的“最初比”为 . 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2 gt g o o g t o gt = + + − 将上式右端含 o 的项舍去，便得“最终比” s = gt ，就是所求的 t 时刻瞬时速度， 牛顿称 s 为 s 的一次流数。 伯克莱责问道：“上述算法中的增量 o 究竟是非零还是真零？若为非零，则 gt + g o 2 1 中的 o 就不能舍去；若为真零，则 0 2 1 ( ) 2 1 2 2 g t + o − gt = ，因此，比值 1 1 2 2 ( ) 2 2 g t + o - gt o 就变成无意义的 0 0 .”.“总之，不论怎样看，牛顿的流数术是不 合逻辑的， 它们只不过是‘消逝量的鬼魂’。”（“伯克莱悖论”） 虽然伯克莱的批评是出于宗教的动机，是企图说明流数原理并不比基督教义 “构思更清楚”、“推理更明白”，但是他的批评是击中要害的，问题的核心是什 么是无穷小量. 实际上，牛顿在去世前已经认识到了这一点。他曾对微分学换了 几种讲述，在 1687 年出版的名著《自然哲学的数学原理》一书中，他对什么是 “最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无 限减小的量之比所趋向的极限。它们无限接近这个极限，其差可以小于任意给定 的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它。” 但牛 顿并没有严格说清楚极限的含义，而且还保留了无限小瞬的观点。 3 。）无穷级数中所出现的“悖论” 早在微积分创立之前，人们就广泛地使用着无穷级数，微积分的发展与无穷 级数的研究是密不可分的。然而在极限概念没有精确化之前，牛顿在流数论中自 由地运用无穷级数，著名数学家欧拉（Euler, 1707-1783）等在无穷级数推理中也 得到了一些“悖论”。 例 1 将二项式定理形式地应用于 1 (1 ) − − x ，得 (1 ) 1 , 1 1 = − 1 = + + 2 + 3 + − − x x x x x 在上式两端令 x = 2 ，有 −1=1+ 2+ 4+8+， 这是欧拉得到的一个荒谬的结论。再将前式两端乘以 x ，得 , 1 = + 2 + 3 + 4 + − x x x x x x
又因为 x=1=1+1+↓+1 1-x1-1 两式相加，欧拉又得到另一个十分荒谬的结果： 111 +F+++l+x+n+r+=0, 1℃ 例21696年，雅各布·伯努利(Jacob,Bernoulli.1654-1705)在其论文中 作如下推理： 1=L1+”=1-1n+m m+n m m'm m2 m 令m=n=l,得 2=1-1+1-1+ 1 另一方面， 1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0: 1-1+1-1+…=1-(1-1)-(1-1)-…=1. 这就是说，同一个级数的和既可以等于0、1，又可以等于) 伯努利称这些相互 矛盾的结果为“有趣的悖论。” 1703年，意大利数学家格兰弟(Grandi,1671-1742)通过在级数 1=1-x+x2-x3+… 1+ 中令x=1,又重新发现了这一悖论： 21-1+1-1+=0-)+1-)+=0, 格兰弟称之为“无中生有。” 这样的悖论日益增多，并由此得到了许多错误的结论，促使数学家们思考这 样一些问题：怎样认识无限求和的问题？能否将有限求和的概念、法则毫无条件 地搬到无限求和问题中吗？当时，虽然已经出现了收敛和发散的术语，但并无严 格的定义。 (3)极限概念和理论是随着分析的严格化而严格化的 微积分的基础不稳固（特别是在使用无穷小概念上的随意和混乱）和无穷级 数中出现的许多悖论，使18世纪下半以后的许多数学家们认识到必须为分析建 立严格的基础。 法国数学家达朗贝尔(d'Alembert,.1717-1783)在1754年为《科学，艺术和 工艺百科全书》撰写的“微分”条目中发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念
3 又因为 , 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + 2 + 3 + − = − − x x x x x x 两式相加，欧拉又得到另一个十分荒谬的结果： 1 0. 1 1 1 2 3 3 2 + + + + + x + x + x + = x x x 例 2 1696 年，雅各布·伯努利（Jacob, Bernoulli, 1654-1705）在其论文中 作如下推理： − + = + = − + − 3 2 2 1 (1 ) m l n m l n m l m n m l m n l . 令 m = n = l ，得 1 1 1 1 . 2 1 = − + − + 另一方面， 1−1+1−1+ = (1−1) + (1−1) + = 0 ； 1−1+1−1+=1− (1−1) − (1−1) −=1. 这就是说，同一个级数的和既可以等于 0、1，又可以等于 2 1 . 伯努利称这些相互 矛盾的结果为“有趣的悖论。” 1703 年，意大利数学家格兰弟（Grandi, 1671-1742）通过在级数 = − + − + + 2 3 1 1 1 x x x x 中令 x =1 ，又重新发现了这一悖论： 1 1 1 1 (1 1) (1 1) 0, 2 1 = − + − + = − + − + = 格兰弟称之为“无中生有。” 这样的悖论日益增多，并由此得到了许多错误的结论，促使数学家们思考这 样一些问题：怎样认识无限求和的问题？能否将有限求和的概念、法则毫无条件 地搬到无限求和问题中吗？当时，虽然已经出现了收敛和发散的术语，但并无严 格的定义。 （3）极限概念和理论是随着分析的严格化而严格化的 微积分的基础不稳固（特别是在使用无穷小概念上的随意和混乱）和无穷级 数中出现的许多悖论，使 18 世纪下半以后的许多数学家们认识到必须为分析建 立严格的基础。 法国数学家达朗贝尔（d’Alembert, 1717-1783）在 1754 年为《科学，艺术和 工艺百科全书》撰写的“微分”条目中发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念
代替了含糊的“最初比”与“最终比”.他定义量Y的极限为X,如果“量Y可 以任意逼近X,这就是说，Y与X之间的差可任意小。” 1755年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论.他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816年，捷克哲学家和数学家波尔查诺(Bolzano.1781-1848)在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x处，只要o(的绝对值)充分小，就能使差f(x+⊙)-f(x)(的绝对值)任意 小，那么就说f(x)在该区间上连续。 ●法国数学家柯西(Cauchy,1789-1851)是分析学的奠基人， 他在1821-1823年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等)给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。例如： 极限当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性若无穷级数 40+41+42+…+4n+… 的前n项之和sn=山，+山+山，+…+wn,当n趋向无穷大时无限趋近于某一常数s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 (导数、积分、级数等)都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ●极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897) 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套ε-N与 ε-δ语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题2怎样正确地理解极限的ε-N与ε-6定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯
4 代替了含糊的“最初比”与“最终比”. 他定义量 Y 的极限为 X ，如果“量 Y 可 以任意逼近 X ，这就是说， Y 与 X 之间的差可任意小。” 1755 年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论. 他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816 年，捷克哲学家和数学家波尔查诺（Bolzano. 1781-1848）在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817 年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x 处，只要 （的绝对值）充分小，就能使差 f (x +) − f (x) （的绝对值）任意 小，那么就说 f (x) 在该区间上连续。 ⚫ 法国数学家柯西（Cauchy, 1789-1851）是分析学的奠基人. 他在 1821-1823 年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等）给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。 例如： 极限 当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量 当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性 若无穷级数 u0 + u1 + u2 ++ un + 的前 n 项之和 n = u0 + u1 + u2 + + un−1 s 当 n 趋向无穷大时无限趋近于某一常数 s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 （导数、积分、级数等）都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ⚫ 极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815-1897） 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套 −N 与 − 语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题 2 怎样正确地理解极限的 − N 与 − 定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯
的ε-N与ε-δ语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 (1)柯西极限定义的科学内涵与缺陷 )柯西极限定义的科学内涵一一极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， lman=A=当n无限增大时，数列an无限趋近一个定值A,最终使an的值 与A之差要多小就多小。 limf(x)=A=当x无限趋近于x,时，函数f(x)无限趋近一个定值A,最 终使f(x)的值与A之差要多小就多小。 2)柯西极限定义的缺陷一一该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程」 例1判定数列a。=(1+)”有无极限， 极限是多少？ 2 3 4 5 6 10 20 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 n 由表中数字易见，a,似乎随n单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2判断数列a.=京+1000 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 由表易见，an随n的增大越来越接近于0，似乎极限应为0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当n无限增大时，→0，cos→1，故a,的极限应是 n 1 10000 例3某公司招聘新职员，甲岗底薪是1000元/月，每一个月加薪200元： 乙岗底薪600元/月，每半月加薪60元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位)： J
5 的 − N 与 − 语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 （1）柯西极限定义的科学内涵与缺陷 1 。）柯西极限定义的科学内涵——极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， d n n a = A= → lim 当 n 无限增大时，数列 n a 无限趋近一个定值 A ，最终使 n a 的值 与 A 之差要多小就多小。 d x x x f x = A= → → lim ( ) ( , ) 0 当 x 无限趋近于 0 x 时，函数 f (x) 无限趋近一个定值 A ，最 终使 f (x) 的值与 A 之差要多小就多小。 2 。）柯西极限定义的缺陷——该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程. 例 1 判定数列 n n n a ) 1 = (1+ 有无极限，极限是多少？ n 1 2 3 4 5 6 10 20 … n n ) 1 (1+ 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 … 由表中数字易见， n a 似乎随 n 单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2 判断数列 10000 5 cos 1 3 n n an = + 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 … n a 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 … 由表易见， n a 随 n 的增大越来越接近于 0，似乎极限应为 0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当 n 无限增大时， 1 5 0, cos 1 3 → → n n ，故 n a 的极限应是 10000 1 。 例 3 某公司招聘新职员，甲岗底薪是 1000 元/月，每一个月加薪 200 元； 乙岗底薪 600 元/月，每半月加薪 60 元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位）：
2 4 5 6 … 19 20 21 22 甲 500 500 600 600 700 700 … 1400 1400 1500 1500 300 360 420 480540600 1380 1440 1500 1560 到第10个月，乙岗的薪酬就超过了甲岗。 (2)魏尔斯特拉斯的极限定义用ε-N（或ε-6)对“两个无限”进行了 严格的数量刻画，便于进行逻辑演绎和推理。 我们以数列极限iman=A的ε-N定义来说明。 定义设{an}为一数列.若存在一常数A∈R,对于任意给定的s>0,存在 正整数W;使当n>N时，恒有不等式 la-Ak8 成立，则称{a}的极限存在，称A为它的极限，简写成 ma.=A6>0,NeN,使当m>N时，恒有利a,-AKc 在这个定义中，利用ε>0的任意性（即它可以任意小，要多小就多小）和 不等式|an-Ak6来刻画an与A能任意接近，“无限接近”。为了保证|a,-Ak6, 必须由此不等式求N∈N,使得n>N时，恒有|an-Aks.因此，n>N是保 证此不等式成立所需要的n变大的程度，它刻画了n“无限增大”。这样就用ε和 N以及不等式an-Ake(n>N)刻画了an无限接近A,以A为极限这个事实。 数列极限的上述定义有鲜明的几何意义： 1)在数轴上，|an-A表示数列{an}的通项与A之间的距离，若记为 p(an,A),则上述定义也可以写成 man=A=ε>0,3N∈N,使当n>N时，恒有p(a,A)N。 2)在数轴上，|an-Ak6也可表示为以A为中心，ε为半径的开区间 (A-E,A+),若记为U(A,e)(A的ε邻域)，则上述定义还可以写成 Iman=A=e>0,3N∈N,使当n>N时，恒有an∈U(A,&) 它表示，对于任给的8>0，总存在正整数N,使{an}中从N+1项开始的所有各 6
6 1 2 3 4 5 6 … 19 20 21 22 … 甲 500 500 600 600 700 700 … 1400 1400 1500 1500 … 乙 300 360 420 480 540 600 … 1380 1440 1500 1560 … 到第 10 个月，乙岗的薪酬就超过了甲岗。 （2）魏尔斯特拉斯的极限定义用 − N （或 − ）对“两个无限”进行了 严格的数量刻画，便于进行逻辑演绎和推理。 我们以数列极限 an A n = → lim 的 − N 定义来说明。 定义 设 { }n a 为一数列. 若存在一常数 A R ，对于任意给定的 0 ，存在 正整数 N ；使当 n N 时，恒有不等式 | a − A| n 成立，则称 { }n a 的极限存在，称 A 为它的极限，简写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 | a − A| . n 在这个定义中，利用 0 的任意性（即它可以任意小，要多小就多小）和 不等式 | a − A| n 来刻画 n a 与 A 能任意接近，“无限接近”。为了保证 | a − A| n ， 必须由此不等式求 N N+ ，使得 n N 时，恒有 | a − A| n . 因此， n N 是保 证此不等式成立所需要的 n 变大的程度，它刻画了 n “无限增大”。这样就用 和 N 以及不等式 | a − A| n (n N) 刻画了 n a 无限接近 A ，以 A 为极限这个事实。 数列极限的上述定义有鲜明的几何意义： 1 。）在数轴上， | a A| n − 表示数列 { }n a 的通项与 A 之间的距离，若记为 (a , A) n ，则上述定义也可以写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (a , A) . n 这样，距离 (a , A) n 的大小，就刻画了 n a 与 A 的接近程度， 的任意性与不等式 ( , ) n a A 就刻画了 n a 与 A 能“无限接近”，只要 n 充分大， n N 。 2 。）在数轴上， | a − A| n 也可表示为以 A 为中心， 为半径的开区间 (A − , A + ) ，若记为 U(A, ) （ A 的 邻域），则上述定义还可以写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 a U(A, ). n 它表示，对于任给的 0 ，总存在正整数 N ，使 { }n a 中从 N +1 项开始的所有各
项全部落在A的ε邻域中，在此邻域外最多只有{an}的前N项，这也刻画了只要 n充分大，a,能“无限接近”于A。这里，用邻域U(A,)的大小刻画an与A接 近的过程，用ε的任意性与an∈U(A,s)刻画an与A能“无限接近”，只要n>N。 (3)极限的ε-N和ε-δ定义，将极限这个无限变化过程（动态过程)划 分为无限多个有限过程（静态过程），揭示了无限与有限之间的内在联系，体现 了通过有限认识无限的科学思维方法。 极限定义中的ε>0是任意给定的，具有两熏性一一：意性和鲶定性魏尔 斯特拉斯的极限定义正是利用ε的这种两重性将极限的无限变化的动态过程划 分为无限多个有限的静态过程，实现“分析的算术化。” 事实上，由于ε的任意性，极限的ε-N(或ε-6)定义才能刻画极限的无 限过程。然而，一旦ε给定以后，它就是一个确定的有限常数，因此，求N∈N,, 使n>N时，恒有不等式|an-Akε成立就是一个确定的有限过程。再给一个更 小的ε，求相应的N,又得到另一个有限过程。由于ε的任意性，这种有限过程 就有无限个，从而就将极限的无限过程划分为无限多个有限过程。在每个有限过 程中，由于ε是一个确定的有限常数，因此，能用算术（代数）的方法（解不等 式)求得使|an-Ak的有限的N∈N,,从而完成这个有限过程。这样，利用8 的任意性，在ε不断变小的过程中就完成对整个无限过程的刻画。 问题3数列极限概念的推广—高维空间点列的极限 (1)有限维空间Rm(m>1,m∈N)中点列极限的定义 空间Rm中点列极限的定义是一维空间R中数列极限定义的直接推广。类比 于一维空间R的距离不等式p(an,A)an-AK,Rm中的距离不等式应为 类比于R中的邻域（开区间）U(A,ε)={x∈R|x-Ak},Rm中点a的ε邻域应 定义为 U(a,e)={x∈R"Ix-
7 项全部落在 A 的 邻域中，在此邻域外最多只有 { }n a 的前 N 项，这也刻画了只要 n 充分大， n a 能“无限接近”于 A 。这里，用邻域 U A( , ) 的大小刻画 n a 与 A 接 近的过程，用 的任意性与 ( , ) n a U A 刻画 n a 与 A 能“无限接近”，只要 n N 。 （3）极限的 − N 和 − 定义，将极限这个无限变化过程（动态过程）划 分为无限多个有限过程（静态过程），揭示了无限与有限之间的内在联系，体现 了通过有限认识无限的科学思维方法。 极限定义中的 0 是任意给定的，具有两重性——任意性和给定性. 魏尔 斯特拉斯的极限定义正是利用 的这种两重性将极限的无限变化的动态过程划 分为无限多个有限的静态过程，实现“分析的算术化。” 事实上，由于 的任意性，极限的 − N （或 − ）定义才能刻画极限的无 限过程。然而，一旦 给定以后，它就是一个确定的有限常数，因此，求 N N+ ， 使 n N 时，恒有不等式 | a − A| n 成立就是一个确定的有限过程。再给一个更 小的 ，求相应的 N ，又得到另一个有限过程。由于 的任意性，这种有限过程 就有无限个，从而就将极限的无限过程划分为无限多个有限过程。在每个有限过 程中，由于 是一个确定的有限常数，因此，能用算术（代数）的方法（解不等 式）求得使 | a − A| n 的有限的 N N+ ，从而完成这个有限过程。这样，利用 的任意性，在 不断变小的过程中就完成对整个无限过程的刻画。 问题 3 数列极限概念的推广——高维空间点列的极限 （1）有限维空间 ( 1, ) R m m N+ m 中点列极限的定义 空间 m R 中点列极限的定义是一维空间 R 中数列极限定义的直接推广。类比 于一维空间 R 的距离不等式 (a , A) =| a − A| n n ， m R 中的距离不等式应为 , ( , ) ( - )2 i =1 x a x a m n n n i i = − = x a ； 类比于 R 中的邻域（开区间） U(A, ) = {x R | x − A| }， m R 中点 a 的 ε 邻域应 定义为 ( , ) { | } m U a x R x a ε = − ε ， （它表示 m R 中的一个开球），从而， m R 空间中点列 { }n x 的极限可定义如下表所 示：
R中数列极限的定义 Rm中点列极限的定义 iman=A=&>0,3NeN.,使当 lmxn=a=Vg>0,3N∈N,使当 1 1→中 n>N时，恒有p(an,A)N时，恒有pxn,a)=kn-d0,3N∈N,使当 lmxn=a=s>0,3N∈N,,使当 1→中 打→ n>N时，恒有an∈U(A,&), n>N时，恒有 xn∈U(a,s)={x∈R"Ix-a啡<e 注1'直接用m中点列极限的定义讨论点列的收敛性和求极限问题显得很 繁杂，下面的定理将这些问题转化为R中数列的相应问题（化高维为一维的思 想)，从而收敛数列的许多性质可以推广到Rm中的收敛点列，也可以解决Rm中 点列极限的计算问题。 定理imxn=a台i=1,2,,m,都有immx,=a I+00 1→00 注2由于R"中的每个元素都是m维向量，如：x。=(x,xn2,,xnm)厂， a=(a,a2,…,am)',向量不能比较大小，也不能进行除法运算，所以数列极限中 的某些运算法则（例如除法）和性质（例如单调性、保序性、夹逼性及有关的审 敛准则等)不能推广到Rm中。 (2)无限维空间中点列极限的定义 上面看到，在有限维空间中，利用距离和邻域都可以刻画点列“无限趋近” 于某点，从而可以定义点列的极限，而且这种定义并不依赖于距离和邻域的具体 表达式。因此，在无限维空间中只要能定义距离和邻域的概念，就可以定义其中 点列的极限（或点列的收敛性），从而建立无限维空间上的分析学一一泛函分析。 例如，度量空间(X,)中就是利用公理来定义距离的，称满足下列条件的映 射p:X×X→R: 非负性：p(x,y)≥0，且p(x,y)=0台x=y; 对称性：p(x,y)=py,x): 三角不等式：p(x,y)≤p(x,)+p(,y) 为非空集X上的距离，具有距离结构的集合(X,P),称为度量空间。从而定义空 间(X,p)中点列{xn}的极限为： 8
8 R 中数列极限的定义 m R 中点列极限的定义 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (a , A) . n + → x = a= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (x ,a) = x − a . n n + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 a U(A, ). n + → x = a= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 x (a,) ={x R | x − a } . m n U 注 1 。 直接用 m R 中点列极限的定义讨论点列的收敛性和求极限问题显得很 繁杂，下面的定理将这些问题转化为 R 中数列的相应问题（化高维为一维的思 想），从而收敛数列的许多性质可以推广到 m R 中的收敛点列，也可以解决 m R 中 点列极限的计算问题。 定理 lim = 1,2, , n x a n i m → = ，都有 lim . n,i i n x = a → 注 2 。 由于 m R 中的每个元素都是 m 维向量，如： ( , , , ) , ,1 ,2 , T n n n n m x = x x x T a a am ( , , , ) a = 1 2 ，向量不能比较大小，也不能进行除法运算，所以数列极限中 的某些运算法则（例如除法）和性质（例如单调性、保序性、夹逼性及有关的审 敛准则等）不能推广到 m R 中。 （2）无限维空间中点列极限的定义 上面看到，在有限维空间中，利用距离和邻域都可以刻画点列“无限趋近” 于某点，从而可以定义点列的极限，而且这种定义并不依赖于距离和邻域的具体 表达式。因此，在无限维空间中只要能定义距离和邻域的概念，就可以定义其中 点列的极限（或点列的收敛性），从而建立无限维空间上的分析学——泛函分析。 例如，度量空间 (X,) 中就是利用公理来定义距离的，称满足下列条件的映 射 : X X → R ： 非负性： (x, y) 0 ，且 (x, y) = 0 x = y ； 对称性： (x, y) = ( y, x) ； 三角不等式： (x, y) (x,z) + (z, y) 为非空集 X 上的距离，具有距离结构的集合 (X,) ，称为度量空间。从而定义空 间 (X,) 中点列 { }n x 的极限为：
lmxn=a=s>0,3N∈N,当n>N时，恒有 p(xn,a)0,36=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)时，恒有 f(x,y)-a0,3δ=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)∩A时， 恒有 f(x,y)-a4<8, 9
9 + → x = a= N N d n n lim 0, ，当 n N 时，恒有 (x ,a) n （或 x U(x , ) ={x X | (x,a) } n n ）. 此时称点列 { }n x 按距离 收敛. 点列按距离收敛的内涵是非常广泛的。 例 1 空间 C[a,b] 中点列 {x (t)} n 按距离 ( , ) max{| ( ) ( )|} [ , ] x y x t y t t a b = − （其中 x, y C[a,b] ） 收敛 {x (t)} n 在 [a,b] 上一致收敛。 例 2 空间 [ , ] 2 L a b 中点列 {x (t)} n 按距离 2 1 2 ( , ) | ( ) ( ) | = − b a x y x t y t dt 收敛 {x (t)} n 在 [a,b] 上均方收敛。 然而，按距离收敛不能刻画数学中的所有收敛性（如黎曼积分中的和式极限， 各种弱收敛等）。现代分析中还利用邻域公理或开集公理来定义拓扑空间，从而 定义许多更广泛的收敛（极限）概念。 问题 4 重极限概念中几个值得注意的问题（以二重极限为例） （1）两种不同定义的比较 现行的大学数学教材中，对于二重（多重）极限大体上有两种定义方法： 定义 1 设 f 是定义在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某去心邻域 ( ) U P0 内的二元函数， aR 为一常数. 若 0, = ( ) 0 ，使得当 ( , ) ( , ) P x y U P0 时，恒有 f (x, y) − a ， 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 定义 2 设 f 是定义在集合 2 A R 上的二元函数， ( , ) 0 0 0 P x y 是 A 的一个聚 点， aR 为一常数，若 0, = ( ) 0 ，使得当 P(x, y)U(P0 , ) A 时， 恒有 f (x, y) − a
则称a为f(x,y)当(x,y)→(x,)时的二重极限 两种定义的比较： 1)定义1是一元函数极限定义的直接推广，要求函数∫在P的去心邻域 U(P)内每一点都要有定义，并且，对于U(P)中每一点，都满足不等式 f(x,y)-a<,要求太强，使用范围小！ 2)定义2要求函数f定义在一个集合AsR上，允许在P的任一去心邻域 内存在使∫无定义的点，并且仅要求在去心邻域U(P,δ)内使∫有定义的点满足 f(x,y)-d<6.比定义1要求弱，适用范围大！ 例1设 sin xy xy≠0， f(x,y)= XV 1, x2+y2=0, 求oax, 按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是f(x,y)定义域的一个聚点，故可按定 义2求得 -nc1-00) 不但极限存在，而且f在(0,0)连续. 例2求“十字架”函数f(xy)=1,Df)={(xy)川xy=0}当(x,y)→(0,0)时 的极限。 易见，按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是D(f)的聚点，故可用定义2 求得oofx,)=l，且/在(0,0)连续 例3求m sin xy (x,y(0,0)X 二种错误解法m。ms如=0（因如s如少） (x,y0,0)xy y 正确方法：用定义2，由夹逼准则 9
10 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 两种定义的比较： 1）定义 1 是一元函数极限定义的直接推广，要求函数 f 在 P0 的去心邻域 ( ) U P0 内每一点都要有定义，并且，对于 ( ) U P0 中每一点，都满足不等式 f (x, y) − a ，要求太强，使用范围小！ 2）定义 2 要求函数 f 定义在一个集合 2 A R 上，允许在 P0 的任一去心邻域 内存在使 f 无定义的点，并且仅要求在去心邻域 ( , ) U P0 内使 f 有定义的点满足 f (x, y) − a . 比定义 1 要求弱，适用范围大！ 例 1 设 + = = 1, 0, , 0, sin ( , ) 2 2 x y xy xy xy f x y 求 lim ( , ). ( , ) (0,0) f x y x y → 按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 f (x, y) 定义域的一个聚点，故可按定 义 2 求得 1 (0,0) sin lim ( , ) lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) f x y x y f x y x y x y = = = → → . 不但极限存在，而且 f 在 (0,0) 连续. 例 2 求“十字架”函数 f (x, y) =1,D( f ) = {( x, y) | x y = 0} 当 (x, y) → (0,0) 时 的极限。 易见，按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 D( f ) 的聚点，故可用定义 2 求得 lim ( , ) 1 ( , ) (0,0) = → f x y x y ，且 f 在 (0,0) 连续. 例 3 求 . sin lim ( , ) (0,0) x xy x y → 一种错误解法： 0 sin lim sin lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) = = → → y x y x y x x y x y x y . （因 y xy xy x xy sin sin ） 正确方法：用定义 2，由夹逼准则
