第3章线性代数方程组 3.1基本内容 3.1.1矩阵秩的定义 定义1矩阵A的k阶子式 在m×n矩阵A中任取k行，k列(1≤k≤min(m,n),位于这k行，k列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r+1阶子式（如果有的话）全等 于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为rank(A),简 记为(4)。 定义3满秩阵 设A为n阶方阵，若r(A)=A,则称A为满秩阵。 3.12矩阵秩的性质 (1)4)=(4g (2)2A)=r(A,其中元≠0： (3)(=0等价于A=0: (4)r(4)min(m,n): (5)设A,B为同阶矩阵，则 r(A+B)≤r(A)+rB) (1)设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则 r(AB)≤min(r(A,r(B) r(AB)≥r(A)+r(B)-n 特别当AB=0时，r(A)+r(B)≤n成立。 [A 07 0 B =r(4)+r(B AC (7) ≥r(A)+r(B) 0 B [A 0 D B ≥(4)+r(B) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
第 3 章 线性代数方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵秩的定义 定义 1 矩阵 A 的 k 阶子式 在 m´ n 矩阵 A 中任取 k 行，k 列(1 £ k £ min(m, n))，位于这 k 行，k 列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2 矩阵 A 的秩 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有的 r＋1 阶子式（如果有的话）全等 于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为rank(A) ，简 记为 r(A)。 定义 3 满秩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 r(A)＝A，则称 A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） r(A ) r(A); T = （2） r(lA) = r(A),其中l ¹ 0 ； （3） r(A) = 0 等价于 A = 0； (4)r(A ) (m n) m n £ min , ´ ； （5）设 A，B 为同阶矩阵，则 r(A + B) £ r(A)+ r(B) （1） 设 A 为 m´ n 矩阵，B 为 n ´ s 矩阵，则 ( ) ( ( ) ( )) r(AB) r( ) A r( ) B n r AB r A r B ³ + - £ min , 特别当 AB＝0 时， r(A)+ r(B) £ n成立。 （7） ( ) ( ) ( ) ( ) r( ) A r( ) B D B A r r A r B B A C r r A r B B A r ³ + ú û ù ê ë é ³ + ú û ù ê ë é = + ú û ù ê ë é 0 0 0 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
3.1.3矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则r(4)=r(B) (2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 r(AB)=r(B):r(BA)=r(B) (3)设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 n r(A)=n 4)=1 r(④=n-1 0 r(A)≤n-2 (④)设A为方阵，则A≠0台r(A)=n。 3.1.4矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求矩阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩。 (5)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求Ax=b的解，其中A≠0。 方法(1)克莱娒法则 )6=12,n小，其中D,为右端列6取代A的第1列所构成的行列式。 x= 方法(2)逆矩阵法 x=Arh,其中4=士或用4）行0：A)求A. 方法(3)G法 将增广矩阵(Ab)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法(3)G-J法 将增广矩阵(A:b)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6齐次线性方程组Ax=0 (1)齐次线性方程组有解的条件 x=0为Ax=0的平凡解。 当r(A)=n时，Ax=0只有零解。 r(A<n时，Ax=0有含n-r(A)个参数的无穷多组解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若 A∽B,则 r(A) = r(B) （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当 A 可逆时，有 r(AB) = r(B)； r(BA) = r(B) (3) 设 A 为 n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A (4)设 A 为方阵，则 A ¹ 0 Û r(A) = n 。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求 Ax = b 的解，其中 A ¹ 0 。 方法（1） 克莱娒法则 (i n) A D x i i = = 1,2,L ，其中 Di 为右端列b 取代 A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 x A b -1 -1 = ，其中 A A A * 1 = - 或用( ) ( ) ¾¾® -1 AMI 行 IMA 求 -1 A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 = 0 ´ A x m n （1）齐次线性方程组有解的条件 x = 0为 Ax = 0的平凡解。 当 r(A) = n时， Ax = 0只有零解。 r(A) p n 时， Ax = 0有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注Ax=0有非零解台r(A<n。 (2)齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 51,52,…5k为Ax=0的解，则15+1252+…+15仍为Ar=0的解，其中11,2，…1k 为任意常数。 (4)基础解系 设51,52，…5k为Ax=0的解，满足1)51,52，…5k线性无关：2)任一Ax=0的解5 均可由51,52，…5k线性表出，则称51,52，…5k为Ax=0的一个基础解系。 注Ax=0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数k必为n-r(A)。 (5)齐次方程的通解 若51,52，…54为Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的通解为 X=151+1252+…+15k,11,12,…1k∈R 3.1.7非齐次线性方程组 非齐次线性方程组Amx=b(≠O) (1)非齐次线性方程组有解的条件 当r(b)=(A)=n时，方程组有唯一解。 当r(A)<n时，方程组有含n-r(A)个参数的无穷多组解。 当(Ab)≠r(A)时，方程组无解。 (2)非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(A:b)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 若51,52为Ax=b的解，则51-52为其导出方程组Ax=0的解。 注5+52为=b的一个解，而5，+5，不再是尔=b的解。 2 (4)非齐次线性方程组的通解 若若51,52，…5k为A=0的一个基础解系，三为Ax=b的一个解，则Ax=b的通解为 x=1151+1252+…+1k5k+5,1,2,…1k∈R PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
注 Ax = 0有非零解Û r(A) p n 。 （2）齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，则 k k t x + t x +L+ t x 1 1 2 2 仍为 Ax = 0的解，其中 k t ,t ,Lt 1 2 为任意常数。 (4)基础解系 设 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，满足 1） k x ,x ,Lx 1 2 线性无关；2）任一 Ax = 0的解x 均可由 k x ,x ,Lx 1 2 线性表出，则称 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系。 注 Ax = 0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数 k 必为 n - r(A)。 （5）齐次方程的通解 若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，则 Ax = 0的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk , t 1 ,t 2 ,Lt k Î R 3.1.7 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 = (¹ 0) ´ A x b m n （1） 非齐次线性方程组有解的条件 当 r(AMb) = r(A) = n 时，方程组有唯一解。 当 r(A) p n 时，方程组有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 当 r(AMb) ¹ r(A)时，方程组无解。 （2） 非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3） 解的性质 若 1 2 x ,x 为 Ax = b 的解，则 1 2 x - x 为其导出方程组 Ax = 0的解。 注 2 1 2 x + x 为 Ax = b 的一个解，而 1 2 x + x 不再是 Ax = b 的解。 （4）非齐次线性方程组的通解 若若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，x 为 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk + x, t 1 ,t 2 ,Lt k Î R PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(5)解的结构 非齐次线性方程组的通解x。等于对应的齐次线性方程组的通解x,加上非齐次线性方程组 的一个特解x。，即 Xg =xh+xp 3.2典型例题分析 1)用定义求矩阵的秩 [1234] 例1求矩阵A= 468的秩。 3 607 解因为A的第1、第2行对应成比例，故A的任意三解子式必为零，即r(A≤2，而子式 7-5≠0，知(4≥2，综上所述4)=2. ab ab2 … a6,7 ab ab2 例2设A= abn 求A的秩。 a by ab2 … anbn」 解因为 「ab ab2 … b7 a aby ab A= ab [6,b2,…,bn] a b a b a bn 知A的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得r(A)≤1，当a,a2,,an全为零或 b,b2,…,bn全为零时，(A)=0,否则r(A)=1。而 a a A2= b,b2,…,bn 26,b,,b.]=(2a,h4 an 故 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
（5）解的结构 非齐次线性方程组的通解 g x 等于对应的齐次线性方程组的通解 h x ，加上非齐次线性方程组 的一个特解 p x ，即 g h p x = x + x 3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩 例 1 求矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 0 7 2 4 6 8 1 2 3 4 A 的秩。 解 因为 A 的第 1、第 2 行对应成比例，故 A 的任意三解子式必为零，即 r(A) £ 2 ，而子式 5 0, 3 7 1 4 = - ¹ 知 r(A) ³ 2 ，综上所述 r(A) = 2。 例 2 设 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A L M M M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，求 2 A 的秩。 解 因为 [ ] n n n n n n n n b b b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 知 A 的任二行对应成比例，即所有 2 阶子式全为零，得 r(A) £ 1，当 n a , a , ,a 1 2 L 全为零或 n b ,b , ,b 1 2 L 全为零时， r(A) = 0 ，否则 r(A) = 1。而 [ ] [b b b ] a b A a a a b b b a a a A n i n i i n n n å= = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , ,L, ( ) M L M 故 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
0 r4） 2)用初等变换法求矩阵的秩 [11-23 07 21 -6 4-1 例3求矩阵A= 的秩。 3 2 7 -1 1 -1-6 -1b 解将A化为行阶梯阵，即 [11 -23 0 1 -2 3 0 1 1 -23 0 2 1 -64 -1 0 -1 -2 -2 -1 0 -1 -2 -2 -1 A= -2 → 32a7 -1 0-1 a+6 -1 0 0 a+8 0 0 1-1-6-1b 0 -2 -4 -4 b 0 0 0 0 b+2 当a=-8且b=-2,r(A)=2; 当a≠-8且b=-2,r(A)=3: 当a=-8且b≠-2，r(A=3: 当a≠-8且b≠-2，r(A)=4 例1讨论n阶方阵A的秩 「ab…b ba… 6 A= Lb b …a 解将A化为行阶梯矩阵，即 a b… b7 「a(n-1bb…b7 ba… b b (n-16 a... b A= → b b a b(n-1)bb…a a+(n-1)b b.. b a-b a-b 当a≠b且a+(n-1)b=时，A=n PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
( ) ï ï î ï ï í ì ¹ = = å å = = n i i i n i i i a b a b r A 1 2 1 1 0 0 0 2）用初等变换法求矩阵的秩 例 3 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = b a A 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 的秩。 解 将 A 化为行阶梯阵，即 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - + - - - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = 0 0 0 0 2 0 0 8 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 0 2 4 4 0 1 6 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 b a b a b a A 当 a = -8且b = -2,r(A) = 2; 当 a ¹ -8且b = -2,r(A) = 3; 当 a = -8且b ¹ -2,r(A) = 3; 当 a ¹ -8且b ¹ -2,r(A) = 4; 例1 讨论 n 阶方阵 A 的秩 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = b b a b a b a b b A L M M L L L 解 将 A 化为行阶梯矩阵，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - + - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a b a b a n b b b b n b b a b n b a b a n b b b b b a b a b a b b A O L L L M M L L L L M M L L L 1 1 1 1 当a ¹b且a+(n-1)b＝时，r(A) =n; PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
当a≠b且a+(n-1)b=0时，r(A)=n-1 当a=b=0时，r(A=0 当a=b≠0时，(A)=1. 3)用性质求矩阵的秩 例5设A为n阶方阵，且A2=A,试证r(A-I)+(A≤n。 证已知A2=A即A(A-I）=0,由性质知 n=r(I-A+A≤rI-A+r(A=r(A-I)+r(A)≤n 所以成立 r(A-I）+r(A)=n 例2设A为m×n阵，B为n×m阵，则 (1)如果m>n时，证明AB=0 (2)如果m<n且AB=I,试证r(B)=m。 证(1)由秩的性质知r(AB)=min(r(A),r(B),而r(A)≤min(m,n)≤n, r(B)≤min(m,n)≤n,则(AB)≤n<m,故AB不满秩，即AB=0。 (2)由秩的性质知 m=r(I）=r(AB)≤min(r(A,r(B)≤m 故 r(B)=m 例3设A为A的转置伴随阵，试证 r(A)=n r(4)=n-1 0 r()≤n-2 证(1)当r(4)=n时，则A≠0，由AA=41知，两边取行列式得 4A=A,即A=4≠0，所以4)=n。 (3)当(4)=n-1时，由定义知A有n-1阶子式非零，这时A=(Aj≠0，即 r(4)21,而A4=A=0,由性质知(4)+4)sn,推得r(4)s1,综上 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
当 a ¹ b且a + (n -1)b＝0时，r(A) = n -1; 当 a = b = 0时，r(A) = 0; 当 a = b ¹ 0时，r(A) = 1. 3)用性质求矩阵的秩 例 5 设 A 为 n 阶方阵，且 A = A 2 ，试证 r(A - I)+ r(A) £ n。 证 已知 A = A 2 即 A(A - I) = 0 ，由性质知 n = r(I - A + A) £ r(I - A)+ r(A) = r(A - I) + r(A) £ n 所以成立 r(A - I) + r(A) = n 例2 设 A 为 m´ n 阵，Ｂ为 n ´ m 阵，则 （1） 如果 m > n时，证明 AB = 0 ； （2） 如果 m < n 且 AB = I ，试证 r(B) = m 。 证 （1）由秩的性质知 r(AB) = min(r(A),r(B)),而r(A) £ min(m, n) £ n, r(B) £ min(m, n) £ n，则 r(AB) £ n p m ，故 AB 不满秩，即 AB = 0 。 （2）由秩的性质知 m = r(I) = r(AB) £ min(r(A),r(B)) £ m 故 r(B) = m 例3 设 * A 为 A 的转置伴随阵，试证 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 证 （1）当 r(A) = n 时，则 A ¹ 0 ，由 AA = A I * 知，两边取行列式得 n A A = A * ，即 0 1 * = ¹ n- A A ，所以 r(A ) = n * 。 （3） 当 r(A) = n -1时，由定义知 A 有 n -1阶子式非零，这时 ( ) 0 * = ¹ T A Aij ，即 ( ) 1 * r A ³ ，而 0 * AA = A I = ，由性质知r(A)+ r(A ) £ n * ，推得 ( ) 1 * r A £ ，综上 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
可得(4)=1。 (4)综上所述 n r(A)=n rA)= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 4)用有关结论求矩阵的秩 例8设n>2)阶非零实方阵A=(a)满足a=A,(j=1,2,…n),求r(4)。 解解法1因为a,=A且A≠0，不妨设ag≠0，由行列式的定义知 个=au4+a4a++a4n=2c>0 所以 r(A)=n 解法2由a=A,知A=AI,再由(4)=r(A)及 r()=n )= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 知n>2时，要使r(A)=A),且A≠0，只能r(A)=n。 [102 例9已知A为4×3阶矩阵，且(A)=2,B= 020 求r(AB)的值。 -103 「10 3> 解因为B= 020 为可逆阵，由结论知AB不改变A的秩，故 -103 (AB)=r(A)=2 5)用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例10设A为m×n实矩阵，证明A=r()。 证分析只要证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即n-r(A)=n-4',得r(4A)=(4). 设有x满足Ax=0,左乘AI得A'Ax=0,即x也是ATAx=0的解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
可得 ( ) 1 * r A = 。 （4） 综上所述 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 4）用有关结论求矩阵的秩 例 8 设 n(> 2) 阶非零实方阵 ( ) A = aij 满足 a A (i j n) ij = ij , = 1,2,L ，求 r(A)。 解 解法 1 因为 aij = Aij且A ¹ 0 ，不妨设 ¹ 0 kl a ，由行列式的定义知 0 1 2 = 1 1 + 2 2 + + = å > = n i A ak Ak ak Ak L aknAkn aki 所以 r(A) = n 解法 2 由 aij = Aij 知 T A = A * ，再由 r(A ) r(A) T = 及 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 知 n > 2 时，要使 ( ) ( ) * r A = r A ，且 A ¹ 0 ，只能 r(A) = n。 例 9 已知 A 为 4´3阶矩阵，且 r(A) = 2， ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 求 r(AB)的值。 解 因为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 为可逆阵，由结论知 AB 不改变 A 的秩，故 r(AB) = r(A) = 2 5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例 10 设 A 为 m´ n 实矩阵，证明 r(A A) r(A) T = 。 证 分析 只要证明线性方程组 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即 n r(A) n r(A A) T - = - ，得 r(A A) r(A) T = 。 设有 x 满足 Ax = 0，左乘 T A 得 A Ax = 0 T ，即 x 也是 A Ax = 0 T 的解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
设有x满足ATAr=0,左乘xI得xT AT Ax=0,即(Ax)(Ax)=0,得Ax=0, 即x也是Ax=O的解。 综上所述Ar=0与AAx=0同解，故(4)=r(4'A)成立。 6)齐次线性方程组的求法 x1-X2-x3+x4=0 例11求齐次线性方程组x1-x2+x3-3x4=0的通解。 x1-x2-2x3+3x4=0 解解法1系数矩阵经过行初等变换得 1 -1-117[1-1-111 A=1-11-3 0 00 -2 由r()=2,n=4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 x1-x2-x4=0 x3-2x4=0 移项后得 X1=X2+x4 x3=2x4 令x2=11,x4=12得 「17 17 1 X= 0 %+ 2 12, 41,l3∈R 0 「17「1 1 0 其中 0 2 为齐次方程的一个基础解系。 解法2由解法1可知(A)=2。 -母]d--图 齐次方程的通解为 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
设有 x 满足 A Ax = 0 T ，左乘 T x 得 x A Ax = 0 T T ，即(Ax) (Ax) = 0, T 得 Ax = 0， 即 x 也是 Ax = 0的解。 综上所述 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解，故 r(A) r(A A) T = 成立。 6）齐次线性方程组的求法 例 11 求齐次线性方程组 ï î ï í ì - - + = - + - = - - + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 解法 1 系数矩阵经过行初等变换得 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - = 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 A 由 r(A) = 2, n = 4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 î í ì - = - - = 2 0 0 3 4 1 2 4 x x x x x 移项后得 î í ì = = + 3 4 1 2 4 x 2x x x x 令 2 1 4 2 x = t , x = t 得 x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 0 1 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 0 1 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 解法 2 由解法 1 可知 r(A) = 2。 令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 0 1 3 1 x x ；令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 2 2 3 1 x x 齐次方程的通解为 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
2) 1 1 0 2 l2,i1,l2∈R o 2 1 1 其中 为齐次方程的一个基础解系。 0 2 0 注两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。 2x1+x2+22x3=0 例12设齐次线性方程组 x1+入x2+x?=0的系数矩阵为A,且存在三阶方阵 x1+x2+元x3=0 B≠0，使AB=0,求 (1)元的值： (2)B的行列式。 解(1)由题意B≠0，AB=0可知Ax=0有非零解，故A=0,即 久12到 101-元0 1元1=0元-11-2=(1-)2=0 11211元 得入=1，这时r(A)=1。 (2)己知AB=0,有秩的性质知r(4)+r(B)≤3，而r(A)=1,则r(B)≤2，所以B不满 秩，即B=0。 注(2)也可用反证法，设B≠0，则B可逆，由知ABB=A=0与A≠0矛盾，故B=0。 例13设n解方阵A的各行元素之和都为零，且r(A)=n-1,求方程Ax=0的通解，并证 明A,=A6,j=1,2,…,n)。 解由于n阶方阵A的各行元素之和都为零，故成立 A1,…=0,即1，…，]为Ax=0的解。而r(4)=n-1,可知Ax=0含有 n-(n-)=1个参数此无穷多组解，则通解x=,l,,1,1∈R。 由于(4)=n-1,故A=0,这时AA=41=0,则A的每一列都是Ax=0的解，即 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 1 2 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 1 2 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 注 两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。 例 12 设齐次线性方程组 ï î ï í ì + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 x x x x x x x x x l l l l 的系数矩阵为 A，且存在三阶方阵 B ¹ 0,使AB = 0 ，求 （1）l 的值； （2）B 的行列式。 解 （1）由题意 B ¹ 0, AB = 0可知 Ax = 0有非零解，故 A = 0 ，即 (1 ) 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 2 - - = - = - = l l l l l l l l l 得l = 1，这时 r(A) = 1。 （2）已知 AB = 0, 有秩的性质知r(A)+ r(B) £ 3，而 r(A) = 1，则r(B) £ 2 ，所以 B 不满 秩，即 B = 0 。 注（2）也可用反证法，设 B ¹ 0 ，则 B 可逆，由知 0 1 = = - ABB A 与 A ¹ 0 矛盾，故 B = 0 。 例 13 设 n 解方阵 A 的各行元素之和都为零，且r(A) = n -1，求方程 Ax = 0的通解，并证 明 A A (i j n) i j , 1,2, , 1 = 1 = L 。 解 由于 n 阶方阵 A 的各行元素之和都为零，故成立 [1,1, ,1] = 0 T A L ， 即 [ ] T 1,1,L,1 为 Ax = 0 的 解 。 而 r(A) = n -1 ， 可 知 Ax = 0 含 有 n - (n -1) = 1个参数此无穷多组解，则通解 x [ ] t t R T = 1,1,L,1 , Î 。 由于r(A) = n -1，故 A = 0 ，这时 0 * AA = A I = ，则 * A 的每一列都是 Ax = 0的解，即 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[41,A2,…,An-1,…,1,可证得A=A6j=1,2,…,n。 例14已知四元齐次方程组(1)5+，=0 及另一个四元齐次方程组（Ⅱ）的通解为 x2-x4=0 [0,11,041+-1,2,2,12,4,2∈R,问方程组(1)和(IⅡ)是否有非零的公共解？若 有，求出其公共解。 解将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组(I)得 -12+11+212=0 41+212-12=0 解得11=-12，故方程组(I)和方程组（Ⅱ）有非零的公共解为 0,11,04-1,2,2,y41=-1,-1,-1,4≠0 7)非齐次方程组求解 例15问a,b为何值时，方程组 1+X2+x3=4 x1+bx2+x3=3 x1+2bx2+x=4 有唯一解，无解，有无穷多组解，并在有无穷多组解时求出通解。 解解法1初等变换法 a114 a11 47 a11 4 「101 2 (4b)=1b13 1b13 →1 0 1 2 → 1 1 4 12b14 0b01 0b01 0b01 「10 1 271 「1 0 1 2 →011-a4-2a 011-a 4-2a 06 0 1」 00ba-1)1-4b+2ab 当(a-1)b≠0即a≠1且b≠0时，方程组有唯一解： 当b=0,方程组无解： 「101 2 当a=1时(4b)=010 2 这时 10 001-2b 当b≠时，方程组无解： 2 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
[A A A ] [ ] t T T n , , , 1,1, ,1 11 12 L 1 = L ，可证得 A A (i j n) i j , 1,2, , 1 = 1 = L 。 例 14 已知四元齐次方程组（Ⅰ） î í ì - = + = 0 0 2 4 1 2 x x x x 及另一个四元齐次方程组（Ⅱ）的通解为 [ ] t [ ] t t t R T T 0,1,1,0 1 + -1,2,2,1 2 , 1 , 2 Î ，问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零的公共解？若 有，求出其公共解。 解 将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得 î í ì + - = - + + = 2 0 2 0 1 2 2 2 1 2 t t t t t t 解得 1 2 t = -t ，故方程组（Ⅰ）和方程组（Ⅱ）有非零的公共解为 [0,1,1,0] [ 1,2,2,1] [1, 1, 1, 1] , 0 t 1 - - t 1 = - - - t 1 t 1 ¹ T T T 7）非齐次方程组求解 例 15 问 a,b 为何值时，方程组 ï î ï í ì + + = + + = + + = 2 4 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x bx x x bx x ax x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并在有无穷多组解时求出通解。 解 解法 1 初等变换法 ( ) ( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - + ® - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é = b a b ab a a b a a b a b a b b a b b a A b 0 0 1 1 4 2 0 1 1 4 2 1 0 1 2 0 0 1 0 1 1 4 2 1 0 1 2 0 0 1 1 1 4 1 0 1 2 0 0 1 1 0 1 2 1 1 4 0 0 1 1 1 3 1 1 4 1 2 1 4 1 1 3 1 1 4 M 当(a -1)b ¹ 0 即 a ¹ 1且b ¹ 0时，方程组有唯一解； 当b = 0 ，方程组无解； 当 a = 1时( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = b A b 0 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 M 这时 当 2 1 b ¹ 时，方程组无解； PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn