《医用高等数学》一元微积分同步测试试题（三）答案详解 一.单项选择题（每题3分，共30分） 1.当x→0时，tanx-sinx是x3的 ( A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶无穷小 lim tansinlim sco 2sec2x●tanx+sinx 【解析】： x→0 3 x→0 3x2 X→0 6x 2sec3.sin x+sin x =lim =lim sim.m 2sec3x+1_1 6x )xx06 2 因此是同阶无穷小，故选D 2.己知f(x)在x=a处可导，那么1im f(a+h)-f(a-2h)= h→0 h 0 B.2f'(a) c.3fa四 D.3f'(a) 【解析】：由导数性质可得原式=3lim f(a+3h)f(a)-3f(a) h-0 3h 3.函数y=fx)在点xo处可导是f(x)在x处连续的 A.充分不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：由可导性与连续性的关系可知，选A 4.当x→0时，lim xsin二=( A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 【解析k当x→0时，1→o,而sin是有界函数，故而1 lim xsin-0 1 T→U 5.若f(-x)=f(x),(x∈R),在(-o,0)内，f(x)>0,f"(x)0,f"(x)0,f"(x)>0 Cf'(x)0 【解析】：取特殊函数法 设/(x)x则/(x)在x=0处连续，且旷x)-f-)=0,于是mf)-f-0=0, 但f(O)不存在，故选D 6.∫(x)=xsin x+cosx,下列命题中正确的是( )
《医用高等数学》一元微积分同步测试试题（三）答案详解 一．单项选择题（每题 3 分，共 30 分） 1.当 x →0 时， tan x −sin x 是 3 x 的 （ ） A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶无穷小 【解析】： 因此是同阶无穷小，故选 D 2. 已知 f x( ) 在 x a = 处可导 ，那么 0 ( ) ( 2 ) lim h f a h f a h → h + − - = ( ) A． 0 B. 2 ( ) f a C. 1 ( ) 3 f a D. 3 ( ) f a 【解析】： 由导数性质可得 原式= 0 ( 3 ) ( ) 3lim h 3 f a h f a → h + - =3 ( ) f a 3.函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导是 f (x) 在 0 x 处连续的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：由可导性与连续性的关系可知，选 A 4.当 x →0 时， = → x x x 1 lim sin 0 （ ） A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 【解析】：当 x →0 时, 1 x → ， 而 1 sin x 是有界函数，故而 0 1 lim sin 0 x x → x = 5.若 f (−x) = f (x) ，（ xR ），在 (−,0) 内， f '(x) 0 ， f ''(x) 0 ，则 f (x) 在 (0,+) 内有 （ ） A. f '(x) 0, f "(x) 0 B. f '(x) 0, f "(x) 0 C. f '(x) 0, f "(x) 0 D. f '(x) 0, f "(x) 0 【解析】：取特殊函数法 f D x f x f x f x x f x x f x f x x 但 不存在，故选 设 则 在 处连续，且 于是 '(0) 0, ( ) ( ) ( ) | |, ( ) 0 ( ) ( ) 0, lim 0 = − − = = − − = → 6. f (x) = x sin x + cos x ，下列命题中正确的是（ ） x x x x x x x x x x x x x 6 2sec tan sin lim 3 sec cos lim tan sin lim 2 0 2 2 0 3 0 • + = − = − → → → 2 1 6 2sec 1 lim sin lim 6 2sec sin sin lim 3 0 0 3 0 = + = + = → → → x x x x x x x x x x
Af0)是极大值，f()是极小值 Bf0)是极小值，f(孕是极大值 C.f(O)是极大值， f(巴)是极大值 D.f(0)是极小值， ∫（牙）是极小值 【解折：函数f(x)在区间[0，]上可导，且∫(x)=xCOSx>0在区间(0，)上成立， 故函数x)在区间[0,1上单调增加，从而f0)<fx)<f),故选D 7.sm21h的导数为( A.sin 2x2-sin 2x B.2xsin 2x2-sin 2x C.cos2x2-cos2x D.2xcos2x2-cos2x 【解析】：B sin 2tdty=(fsin 2tdt)+sin 2tdt)=-sin 2t+sin 2x2*2x=2xsin 2x2-sin 2x 8.函数f(x)=-2x2+7x-6与函数g(x)=-x的图像所围成的面积是( B.2 C. 8 3 D.3 【解析】：C令f(x)=g(x),先求出两个函数图像交点，横坐标：x=1,x2=3,面积为： ∫iU-gxh=月-2x+8r-6- 3 9.过点M(1,2),试做曲线y=2+3√x-1的切线，则此切线() A.不存在 B.方程为x=1 C.方程为y=2 D.方程为y-2=x-l 【解析：B y=2+3Vx-1,过(1,2)，y'= 3 当x=1时，斜率k不存在， 2Wx-1 则切线为r=a,代入(1,2)，即x=1,故选B 10.函数f(x)在a,b内有定义，其导数f'(x)的图形如图所示，则( A.x1,x2都是极值点 B.(x,f(),(x2,f(x2)都是拐点 y=f'x C.x1是极值点，(x2,f(x2)是拐点 D.(x,f(x)是拐点，x2是极值点 【解析：极值点为f(x)=0,拐点为f"(x)=0,x2为极值点
A. f (0) 是极大值， ) 2 ( f 是极小值 B. f (0) 是极小值， ) 2 ( f 是极大值 C. f (0) 是极大值， ) 2 ( f 是极大值 D. f (0) 是极小值， ) 2 ( f 是极小值 【解析】： ( ) [0, ] '( ) cos 0 0 2 2 f x f x x x 函数 在区间 上可导，且 = ＞ 在区间（ ， ）上成立， ( ) [0, ] (0) ( ) ( ), 2 2 f x f f x f D 故函数 在区间 上单调增加，从而 ＜ ＜ 故选 7. 2 sin 2 x x tdt 的导数为（ ） A. sin 2x sin 2x 2 − B. 2x sin 2x sin 2x 2 − C. cos 2x cos 2x 2 − D. 2x cos 2x cos 2x 2 − 【解析】：B 8.函数 ( ) 2 7 6 2 f x = − x + x − 与函数 g(x) = −x 的图像所围成的面积是（ ） A. 3 2 B. 2 C. 3 8 D. 3 【解析】：C 令 f (x) = g(x) ，先求出两个函数图像交点，横坐标： x1 =1, x2 = 3，面积为： 9.过点 (1,2) M0 ，试做曲线 y = 2 + 3 x −1 的切线，则此切线（ ） A.不存在 B.方程为 x =1 C.方程为 y = 2 D.方程为 ( 1) 3 1 y − 2 = x − 【解析】：B 3 2 3 1, 1, 2 ' , 1 2 1 y x y x k x = + − = = − 过（ ）， 当 时，斜率 不存在， 则切线为x a x B = = , 1,2 1, 代入（ ），即 故选 10.函数 f (x) 在 a,b 内有定义，其导数 f '(x) 的图形如图所示，则（ ） A.x1，x2 都是极值点 B. ( , ( )),( , ( )) 1 1 2 2 x f x x f x 都是拐点 C.x1 是极值点， ( , ( )) 2 2 x f x 是拐点 D. ( , ( )) 1 1 x f x 是拐点，x2 是极值点 【解析】： 2 极值点为f x f x x '( 0 ''( ) 0, ）= = ，拐点为 为极值点 tdt tdt tdt t x x x x x x x x ( x sin 2 )' ( sin 2 )' ( sin 2 )' sin 2 sin 2 *2 2 sin 2 sin 2 2 2 0 0 2 2 = + = − + = − 3 8 ( 2 8 6) 1 3 ( ( ) ( )) 3 1 − = − + − = f x g x dx x x dx
.A错，(x1,f(x)是拐点，B,C错，D对，故选D 二.填空题（每空2分，共20分） x2-1 1.函数f(x)= x2-3x+2 的间断点为 【解析】：函数f(x)在点x=1和x=2处没有意义，所以点x=1和x=2是函数的间断点。 2.若im 2-2x+k=4,求k的值 x→3 x-3 【解析由题意得，当x→3，分母为0，则可以采用因式分解法 -2x+k=lim (x-3Xx+)=lim (x+h)=4 imx-3 x-3 故h=1即k=-3 1 1 3.lim (sin -+cos)*= 【解折ksm(sin+cosr=lm(sin+cos-im1+sin3岁 1 sin2 1 sin2 sin2 2、sin2 2.sin二 =lim(1+sin二)xx=lim[(1+sin二)x]x=e sin2 画之+s3】m =e =e =elxlne =e -dx= J一=0，所以x=a为被积函数的无穷间断点，所以 1 【解析：因为lim a 2 i.∫2e+3dx= 【解折上j2e+dx=2edx+3可d=2e+3nlx1+C 6.已知x+e是f(x)的-个原函数，则f(tanx)sec2x=
1 1 A x f x B C D D 错，( , ( )) , 是拐点， 错， 对，故选 二．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1.函数 3 2 1 ( ) 2 2 − + − = x x x f x 的间断点为__________. 【解析】：函数 f（x）在点 x =1和x = 2 处没有意义，所以点 x =1和x = 2 是函数的间断点。 2.若 4 3 2 lim 2 3 = − − + → x x x k x ，求 k 的值__________. 【解析】：由题意得，当 x →3 ，分母为 0，则可以采用因式分解法 故 h =1 即 k = −3 3. + = → x x x x ) 1 cos 1 lim (sin __________. 【解析】： 2 2 2 1 1 1 1 2 lim(sin cos ) =lim[(sin cos ) ] lim(1 sin ) x x x x x x → → → x x x x x + + = + 1 2 sin 2 2 2 sin sin sin 1 1 2 lim ln[(1 sin ) ] 2 2 2 2 2 2 2 sin sin lim(1 sin ) lim[(1 sin ) ] x x x x x x x x x x x x x e x x → + → → = + = + = 1 1 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2 2 lim lim [ln(1 sin ) ] lim ln[ lim (1 sin ) ] 2 2 1 ln x x x x x x x x x x x x e e e e e → → → → + + = = = = 4. = − dx a x a 0 2 2 1 __________. 【解析】：因为 2 2 1 lim x a a x → = − ，所以 x = a 为被积函数的无穷间断点，所以 5. 3 (2 ) d x e x x + = ________________ 【解析】： 3 1 (2 ) d 2 d +3 d =2 +3ln | | x x x e x e x x e x C x x + = + 6.已知 x x + e −1 是 f (x) 的一个原函数，则 f x xdx = 2 (tan )sec __________. lim ( ) 4 3 ( 3)( ) lim 3 2 lim 3 3 2 3 = + = − − + = − − + → → → x h x x x h x x x k x x x 2 lim lim [arcsin ] 1 0 2 2 0 0 2 2 0 0 = = − = − − →+ − →+ a a a a x a x dx dx a x
【解析：Jf(tanx)sec2xd=Jf(tanx)dtanx= -+etanx+c=cotx+etnx+c tanx 7.曲线y=xe*+I的垂直渐近线方程为 一，斜渐近线方程为 2 【解析】：lim(xex+1)=o,所以x=0是曲线的垂直渐近线： x0 2 2 因为k=lim e+l-1,b=im(xe+1)-x]=3,所以y=x+3是曲线的斜渐近线。 r-o 8.设(xo,yo)是抛物线y=ax2+br+c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足 的关系是 【解析】：因为y=2ax+b.y'(x)=2a。+b,所以过(xo,yo)的切线方程为 y-,=(2ax。+b)y'(x-x),即y-(ax+bx。+c)=(2ax+b(x-x), 由于此切线过原点，把x-y=0带入上式，得-，2-bx,-c=-2ax,2-bx, 即ax=C 由于系数a≠0，所以系数应满足的关系为二≥0，b任意 a 9.设y=f(e)e,其中f(x)可微，则dy_ 【解析：少=yd=[f'(e)e.e*+fe)e]d =e[f'(e')e+f(e')]d 三.计算题（每题5分，共30分） 1.已知y=hcos二，求y 、【解折)由有：少三1一本一sn己*（x之)=之这 1 dx 1 cos 2.sin x cos2 xdx 【解折1小in=-os2dcos=-写os2x+C
【解析】： 2 tan tan 1 (tan ) sec (tan ) tan cot tan x x f x xdx f x d x e c x e c x = = + + = + + 7.曲线 1 2 = + x y xe 的垂直渐近线方程为_________,斜渐近线方程为__________. 【解析】： 2 0 lim ( 1) x x xe → + = ，所以 x = 0 是曲线的垂直渐近线； 因为 2 1 lim 1 x x xe k → x + = = ， 2 lim[( 1) ] 3 x x b xe x → = + − = ，所以 y = x + 3 是曲线的斜渐近线。 8.设 ( , ) 0 0 x y 是抛物线 y = ax + bx + c 2 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足 的关系是 。 【解析】： 因为 y = 2ax + b.y (x0 ) = 2ax0 + b， 所以过 ( , ) 0 0 x y 的切线方程为 0 0 0 y y ax b y x x − = + − (2 ) ( ) ，即 ( ) (2 )( ) 0 0 2 y − ax0 +bx0 + c = ax +b x − x ， 由于此切线过原点，把 x = y = 0 带入上式，得 0 2 0 0 2 −ax0 −bx −c = −2ax −bx ， 即 ax = c 0 由于系数 a 0 ，所以系数应满足的关系为 b任意 a c 0, 9.设 ( )x x y f e e = ，其中 f (x) 可微，则 dy 。 【解析】： ( ) ( ) x x x x x dy y dx f e e e f e e dx = = + ( ) ( ) x x x x = + e f e e f e dx 三．计算题（每题 5 分，共 30 分） 1. 已知 y x y = ,求 1 ln cos 【解析】：由题有： ) 1 )*( 1 *( sin 1 cos 1 2 x x x dx dy = − − 2 1 tan x x = 2. x xdx 2 sin cos 【解析】： 2 sin cos = x xdx 2 − cos cos = xd x − x + C 2 cos 3 1
3. ∫1-sinx+cosX d 【解析】：由三角学知道，snx与cosx都可以用tanX的有理式表示，即 sx 2sin co 2tan sinx=2sin。cos。=- 2 2 sin? +cos2 2 tan? 2 1 2sim2、cos2 -sin2x 1-tan2x COSx=COS2 2 2 2 2 2 sin+cos 1+tan 2 2 2 若设1=tan,则sinx= 21 1-12 1+72,CoSx =i+P,而x=2 arctan4,k= 2 2 于是∫ 1 k=1+2 sinx+cosx 21 1-2=0di=-In 1-t1+ 2(1-t) 1+2+1+2 =-Inl1-tan*|+C 【解折血x-ldk=-j0nx-1d=-1mx-l)+上d0nx-) x2 X --(nx-D+J-x+C 5.求极限m(5点 x->0 X 【解析k因m(5)高=me点学 x>0X x->0 而11-cosx xcosx-sinx x→0 1-cosx T→0 xsin2x =lim xcosx-sinx lim- -xsinx 1 r->0 03x2 所以m(na点：e 6.设y=sin3x,求ym 【解折将函数进行三角变换，可得y=5nx=m 1 sin x-sin 3x 4 4 根据血x的”阶倒数公式，有= gsmx←n匹)-3”s sin3x+) 2
3. − + dx 1 sin x cos x 1 【解析】：由三角学知道， sin x 与 cos x 都可以用 2 tan x 的有理式表示，即 2 2 2 2sin cos 2tan 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 sin cos tan 1 2 2 2 x x x x x x x x x = = = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 2 2 2 cos cos sin 2 2 sin cos 1 tan 2 2 2 x x x x x x x x x − − = − = = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 tan , sin ,cos 2arctan , 2 1 1 1 2 1 2 1 ln |1 | 1-sin cos 2(1 ) 2 1 1 1 1 ln |1 tan | 2 x t t t x x x t dx dt t t t t dx dt dt t C x x t t t t t x C − = = = = = + + + + = = = − − + + − − − + + + = − − + 若设 则 ，而 于是 4. dx x x − 2 ln 1 【解析】： 2 ln 1 1 1 1 (ln 1) (ln 1) (ln 1) x dx x d x d x x x x x − = − − = − − + − 2 1 1 1 (ln 1) ln x dx x C x x x = − − + = − + 5. 求极限 x x x x 1 co s 1 ) sin lim ( 0 − → 【解析】： 1 1 sin ln| | 1 cos 1 cos 0 0 sin lim( ) lim x x x x x x x e x − − → → 因 = 2 0 0 0 1 1 1 cos 3 3 2 0 0 0 1 sin ln | sin | ln | | cos sin lim ln | | lim lim 1 cos 1 cos sin cos sin sin 1 sin lim lim lim( ) 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e x x x → → → − − → → → − − = = − − − − = = = − = 而 ，所以 6.设 y x 3 = sin ，求 (n) y 【解析】：将函数进行三角变换，可得 y x x sin 3x 4 1 sin 4 3 sin 3 = = − 根据 sin x 的 n 阶倒数公式，有 ) 2 sin( 3 4 3 ) 2 sin( 4 ( ) 3 n x n y x n n = + − +
四.解答题（每题10分，共20分） 1.过曲线y=x(x≥0)上某点A作一切线，使得切线、曲线及x轴围成的面积为 ,求： 12 (1)切点A的坐标 (2)过切点A的切线方程 (3)上述平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体体积 【解析： 设切点为(x0,x),则切线方程为y-x,2=2x(x-x)》 切线与x轴的交点坐标为（宁0， 故所围成的面积为S=女-化-空x2 12 122。=山故A的坐标为山，切线方程为y-1=2x-) 由已知得 所得旋转体体积为r=a了本-a2x-广达=君 2.过曲线y=x(x≥O)上某点A作一切线，使得切线、曲线及x轴围成的面积为 1 ,求： (1)切点A的坐标. (2)过切点A的切线方程. 【解析】：设切点为(，x),则切线方程为y-x行=2x(x-x) 切线与x轴的交点坐标为 由已知得公=1 ∴.A1,1切线方程为y-1=2(x-1) 1212
四．解答题（每题 10 分，共 20 分） 1.过曲线 ( 0) 2 y = x x 上某点 A 作一切线，使得切线、曲线及 x 轴围成的面积为 12 1 ，求： （1）切点 A 的坐标 （2）过切点 A 的切线方程 （3）上述平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体体积 【解析】： 设切点为 ( , ) 2 0 0 x x ，则切线方程为 2 ( ) 0 0 2 0 y − x = x x − x 切线与 x 轴的交点坐标为 ,0) 2 ( 0 x ， 故所围成的面积为 3 0 2 0 0 0 0 2 12 1 ) 2 ( 2 0 1 x x x S x dx x x = − − = 由已知得 , 1, 12 1 12 0 3 0 = x = x 故 A 的坐标为 (1,1) ，切线方程为 y −1= 2(x −1) 所得旋转体体积为 30 ( ) (2 1) 1 2 1 2 2 1 0 2 = − − = V x dx x dx 2.过曲线 ( 0) 2 y = x x 上某点 A 作一切线，使得切线、曲线及 x 轴围成的面积为 12 1 ，求：. （1）切点 A 的坐标. （2）过切点 A 的切线方程. 【解析】：设切点为 ( ) 2 0 0 x , x ，则切线方程为 2 ( ). 0 0 2 0 y − x = x x − x 切线与 x 轴的交点坐标为 ,0 2 0 x 3 0 2 0 0 0 0 2 12 1 ) 2 ( 2 1 0 x x x x dx x x s = − − = 由已知得 12 1 12 3 0 = x A(1,1),切线方程为y −1= 2(x −1)