2.4函数的微分及其应用 2.4.1微分及其几何意义 2.4.2微分的基本公式与运算法则 2.4.3一阶微分形式不变性 2.4.4微分在近似计算中的应用
2.4 函数的微分及其应用 2.4.1 微分及其几何意义 2.4.2 微分的基本公式与运算法则 2.4.3 一阶微分形式不变性 2.4.4 微分在近似计算中的应用
2.4.1微分及其几何意义 实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x,变到x。+△x (△x)2 正方形面积S=x,2, A △A=(x,+△x)2-x S=哈 =2x·△x+(△x) e Ak (1) (2) ()△x的线性函数，且为△S的主要部分； (2)△x的高阶无穷小，当△x很小时可忽略
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 S x = 0 0 x 0 x 0 0 设边长由x x x 变到 + , 2 0 正方形面积 S x = , 2 2 0 0 = + − A x x x ( ) 2 0 = + 2 ( ) x x x (1) (2) (1 , ; ) x S 的线性函数 且为 的主要部分 (2 , . ) x x 的高阶无穷小 当 很小时可忽略 x x 2 (x) x x 0 x x 0 2.4.1 微分及其几何意义
再如，设函数y=x3在点x处的改变量 为△时，求函数的改变量△y. △y=(x+△x)3-x =3x·△x+3x·(△x)2+(△x) (1) (2) (1)△x的线性函数，且为△S的主要部分； (2)当△x很小时，是△x的高阶无穷小o(△x), 涵 既容易计算 ∴△y≈3x·△x. 又是较好的 近似值 问题：这个线性函数（改变量的主要部分）是否所有函 数的改变量都有？它是什么？如何求？
再如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 3 . 2 0 y x x (2) , ( ), 当 x x o x 很小时 是 的高阶无穷小 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函 数的改变量都有?它是什么?如何求? (1 , ; ) x S 的线性函数 且为 的主要部分 既容易计算 又是较好的 近似值
1.微分定义 定义2-6设函数y=f(x)在某区间内有定义 x,及x。+△x在这区间内，如果 Ay=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x) 成立（其中A是与△x无关的常数），则称函数 =f()在点x,可微，并且称A△为函数 Iy=f(x)在点x,相应于自变量增量△x的微分 记作d或df(x方即妙 =A△x. 微分dy叫做函数增量△y的线性主部.（微分的实质）
定义2-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ), . x x x x y f x x x x y f x x f x A x o x A x y f x A x y f x x x dy df x dy A x x = = = + = + − = + = = = 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 如果 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 并且称 为函数 在点 相应于自变量增 在点 可微 量 的微分 记作 或 即 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 1. 微分定义
△y=f(x,+△x)-f(x)=A·△x+o(A),yx==A△x 由定义2-6知： (y是自变量的改变量卧x的线性函数 (2)△y-y=o(△x)是比△x高阶无穷小； (3)当A≠0时，与△y是等价无穷小 .y=1+ (△x) →1( △x→0) y A·△x (4)A是与△x无关的常数但与f(x)和x,有关 湖 (⑤)当△x很小时，△y≈（线性主部， 腿
由定义2-6知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → → 1 ( 0). x (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 0 0 = + − = + y f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ), 0 . x x dy A x = =
dyA.Ax. 问题：函数可微的条件是什么？如何求？即A=? 例如，函数y=x在点x处的改变量： △y=(x+△x)2-x=2x:Ax+(x)2 再如，函数y=x在点x,处的改变量：2x=6 晶 △y=(x。+△x)3-x -秋私 湖 =3x.△x+3x(△x)2+(△x) 3乐15
0 . x x dy A x = = 问题: 函数可微的条件是什么?如何求?即A=？ 2 2 0 0 = + − y x x x ( ) 2 0 = + 2x x ( x) 再如, 3 0 函数 y x x = 在点 处的改变量: 3 0 3 0 y = (x + x) − x 2 3 0 2 0 = + + 3x x 3 ( ) ( ) . x x x 例如, 2 0 函数 y x x = 在点 处的改变量: 0 0 2 x x x y = = 0 2 0 3 x x x y = =
可微的条件 函数f(x)在点x,可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导，且A=f'(x) 证(1)必要性f(x)在点x可微， 0(△x) △y=A·△x+0(△x), △x △x 则imAy-A+lim (△x) △r→0△X △x-→0 △x =A=f'(x) 即函数f(x)在点x,可导，且A=f'(x)
可微的条件 0 0 0 ( ) ( ) , ( ). f x x f x x A f x = 函数 在点 可微的充要条件是函 数 在点 处可导 且 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 0 = = A f x ( ) ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性·函数f(x)在点x可导， lim a=03 Cs ●】 =知-fx lim 即然-f0+ 从而△y=f'(x)·△x+·(△x),a→0(Ax→0)， =f'(xo)△x+o(△x), .函数f(x)在点x,可微，且f(x)=A .可导分可微 A=f(xo). 函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的 微分，记作y或df(x),即y=f'(x)△x
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x 0 0 = 函数 f x x f x A ( ) , ( ) . 在点 可微 且 0 = 可导 可微. ( ). A f x , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 0 lim 0 x → =
毛甜 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解d=(x3)'△x=3x2△x. x21=3x2△ x2=0.24. △x=0.02 △x=0.02 少例2 dsinx=(sinx)'.△x=cosx·△x 超 dlnx=L. X as+am(+安小w
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3 == = = = xx x dy x x x = 0 .24 . 例 2 d x sin = = (sin ) cos x x x x d x ln 1 x x = d x x ( + arctan ) 2 1 1 2 1 x x x = + +
dk=(x)'·△x=△x 即dx=△x 通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分 记作d,即dx=△x. .dy=f'(x)△x=f'(x)dx =∫'(x. dⅸ 即函数的微分y与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数.导数也叫"微商
dx = , , . x x dx dx x = 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 记作 即 = = dy f x x f x dx ( ) ( ) f (x). dx dy = . " ". 即函数的微分 dy dx 与自变量的微分 之商等于 该函数的导数 导数也叫 微商 ( ) x x x = 即dx x =