《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（一） 答案详解 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.当x→0时，e*-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则 (A) B.a=1b=0C.a=-7,b=1 D.a=0,b=1 【详解】：根据无穷小比较理论，做比值极限 1im-a+D-0高81im一2 e-2ar-b=0,从而分子是无穷小，1-0-b=0 x2 -2ax-6-lim 2 得b=1:1im2x x-0 ng-20-0→a=2:故选A 2.过点M(1,2),试作曲线y=2+3√x-1的切线，则此切线 (B) 1 A.不存在 B.方程为x=1C.方程为y=2 D.方程为y-2=二(x-1) 【详解：显然M在曲线上，又：/=2 3 。x=1时y不可导，即在M点处的曲线的切 线斜率不存在，但x→1时，y'→0，所以该点切线垂直于x轴，所以切线方程为x=1。 3.方程：x3+y3-xy=7所确定的函数y=f(x)的导数是： (C) A.y 3x2-y2 B.y'= 3x2-y 3x2-y D.y°= 3x2 C.y'= x-3y2 x2-3y2 x-3y2 x-3y2 【详解】对方程两边同时求导得：3x2+3yy-y-y=0隔/=3，故选C。 x-3y a+bx2,x≤0 4.若函数f(x) sin bx 在x=0处连续，则a与b应满足的关系为(C) ,x>0 A.a=2b B.b=2a C.a=b D.无关系 【详解】：f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处左连续且右连续。 limf(x)=lim(a+b)=a=f0)lim f(x)=lim()bf)..a=b 5.若y=f(x)在x处取得极值，则下列结论正确的是： (D) A.f(xo)=0 B.f'(xo)=0f"(xo)=0 C.f"()=0 D.f(xo)=0 f(xo) 不存在 【详解1：y=f(x)在x,有定义，若可导则有：在x处取得极值→∫'(x)=0:若不可
《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（一） 答案详解 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.当 x 0 ( 1) 2 → e − ax + bx + 时， x 是比 2 x 高阶的无穷小，则 （ A ） A. , 1 2 1 a = b = B. a b = = 1, 0 C. , 1 2 1 a = − b = D. a b = = 0, 1 【详解】 ： 根 据 无 穷 小 比 较 理 论 ， 做 比值极限 2 2 ( 1) 0 lim x x e ax bx → x − + + = ⎯⎯⎯⎯→ 洛必塔法则 0 2 0 2 lim x x e ax b → x − − = ，从而分子是无穷小， 1 0 0 − − =b 得 b =1 ； 0 0 2 2 1 0 2 2 2 lim lim x x x x e ax b e a a → → x − − − = = = ：故选 A。 2. 过点 M（0 1,2）,试作曲线 y = 2 + 3 x −1 的切线，则此切线 （ B ） A．不存在 B.方程为 x =1 C.方程为 y = 2 D.方程为 ( 1) 3 1 y − 2 = x − 【详解】：显然 M 在曲线上，又： 3 , 2 1 y x = − x =1 时 y 不可导，即在 M 点处的曲线的切 线斜率不存在，但 x →1 时， y →, 所以该点切线垂直于 x 轴， 所以切线方程为 x =1。 3. 方程： 7 3 3 x + y − xy = 所确定的函数 y = f (x) 的导数是： （ C ） A． 2 2 2 , 3 3 x y x y y − − = B. 2 2 2 , 3 3 x y x y y − − = C. 2 2 , 3 3 x y x y y − − = D. 2 2 , 3 3 x y x y − = 【详解】：对方程两边同时求导得： 2 2 2 3 3 3 0 3 x y x y y y xy y x y − + − − = = − 得 ，故选 C。 4. 若函数 2 , 0 ( ) sin , 0 a bx x f x bx x x + = 在 x = 0 处连续，则 a 与b 应满足的关系为 （ C ） A． a = 2b B. b = 2a C. a = b D.无关系 【详解】：f(x)在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处左连续且右连续。 即 2 0 0 lim ( ) lim( ) (0) x x f x a bx a f → → − − = + = = 且 + + 0 0 sin lim ( ) lim ( ) (0) x x bx f x b f → → x = = = a = b 。 5. 若 y = f (x) 在 0 x 处取得极值，则下列结论正确的是： （ D ） A．f (x0 ) = 0 B. f (x0 ) = 0 且 f (x0 ) = 0 C．f (x0 ) = 0 D. f (x0 ) = 0 或 ( ) 0 f x 不存在 【详解】： y = f (x) 在 0 x 有定义，若可导则有：在 0 x 处取得极值 0 = f x ( ) 0 ；若不可
导，但f'(x)在x。左右异号，从而y=f(x)在x,处取得极值。故选D。 x≥0 6.a、b满足何值，使f(x)= 在x=0点可导 (D) ax+b x<0 A.a=2,b=3B.a=1,b=0 C.a=0,b=1 D.a=1,b=1 【详解】1：f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续，即Iimf(x)=lim(ax+b)=b=f(O)=l, r0 r 又f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处左、右均可导且左、右导数相等，也即： fo)=lm)-f0-lim匹+h-e =lim+1-l )=a=f'(0)=lim9 →0 →0 0 x→0 ..a=b=l。 1 7.点x=0是函数f(x)=xsin-的 (A)间断点。 A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点 1 【详解】：因为limxsin二=0所以只需要补充f(O)=0即可使得函数在x=0点处连续，故 r→0 为可去间断点，选A。 8.不定积分 的正确结果为 (A) V5-4x-4x2 ,1+2x+C A.arcsin 1 B.n1+2x+√0+2x2-6)+C C.arcsin 1+2x+C D.ln(1+2x-V1+2x2-6)+C 6 [(e+e'-2)d 9. lim x-0 1-cosx (B) A、1 B、0 c、-1 D、0 (+e-2yd 【详解】：由洛必塔法则：lim =lim e'+e-2-lime -e=-0 1-cosx sinx x0 COSX
导，但 f x ( ) 在 0 x 左右异号，从而 y = f (x) 在 0 x 处取得极值。故选 D。 6.a、b 满足何值,使 + = ax b e f x x ( ） 0 0 x x 在 x = 0 点可导 （ D ） A． a = 2,b = 3 B. a = 1,b = 0 C. a = 0,b = 1 D. a = 1,b = 1 【详解】：f(x)在 x=0 处可导，则 f(x)在 x=0 处连续，即 - - 0 0 lim ( ) lim( ) (0)=1 x x f x ax b b f → → = + = = ， 又 f(x)在 x=0 处可导，则 f(x)在 x=0 处左、右均可导且左、右导数相等，也即： + + 0 0 0 0 0 ( ) (0) 1 1 1 (0) lim lim( ) lim( ) (0) lim 1 x x x x x f x f ax b e ax e f a f x x x x − + → → → → − + − + − + − − = = = = = = = ， = a b=1。 7.点 x = 0 是函数 x f x x 1 ( ) = sin 的 （ A ）间断点。 A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．无穷间断点 D．振荡间断点 【详解】：因为 0 1 lim sin 0 x x → x = 所以只需要补充 f(0)=0 即可使得函数在 x=0 点处连续，故 为可去间断点，选 A。 8．不定积分 dx x x − 2 5 - 4 4 1 的正确结果为 （ A ） A. C x + + 6 1 2 arcsin 2 1 B. 1 2 ln(1 2 (1 2 ) 6) 2 + + + − + x x C C. C x x + 1+ 2 arcsin D. 2 ln(1 2 (1 2 ) 6) + − + − + x x C 【详解】： 2 2 1 1 1 1 1 2 (1 2 )= arcsin 5-4 4 6 (1+2 ) 2 2 6 x dx d x C x x x + = + + − − 9. 0 0 ( 2) lim 1 cos x t t x e e dt x − → + − = − （ B ） A、1 B、0 C、 −1 D、 【详解】：由洛必塔法则: 0 0 0 0 ( 2) 2 lim lim lim 0 1 cos sin cos x t t x x x x x x x e e dt e e e e x x x − − − → → → + − + − − = = = −
10.设函数f6x)=产sinbx,则∫，x)k= (c) A、-1 B、1 C、0 D、结果与b有关 【详解】：因为x sinbx在R内连续且为奇函数，所以在关于原点对称区间内积分等于0， 选A。 二.填空题（每空2分，共20分） 1.设f(x)是定义在(0,1)上的函数，则f[g(x的定义域是一(1,1O)一 【详解1：因为t=lgx,则t∈(0,1)，也即lgx∈(0,1)故x∈(1,10) 2.当a=0时，函数f(x)=x2+ax-3是偶函数。 【详解】1f(x)=f(-x)∴.x2+ar-3=x2-am-3,故a=0 3.设f(a)=l,则：limf(a+2h)-f@- h+0 h 【详解 limf(a+2h)-f(a)=2limf(a+2h)-f(a)-2f'(a)=2 h 2h 4.f(x) 2:-1的间断点是_x=0_一，它是第一_类间断点。 2x+1 1 1 【详解1：显然x=0,函数没有定义，且lim2x=0,lim2x=+oo,所以；lim 2x-1 x→0 x→0 1 =-1; 2x+1 211 2x+1 5.lim tan3x 的极限3 。1 limx2sin-的极限0 Y- 【详解1：li tan3x =lim 3X3, limx2sin二=0，无穷小与有界函数的积仍为无穷小 x→0 6.当x→0*时，e丘-1是x的低阶无穷小。 ef-1 【详解】： 因为lim =lim- =00e 0X 0X 7. 心-x=
10．设函数 2 f x x bx ( ) sin = ，则 2 2 f x dx ( ) − = （ C ） A、-1 B、1 C、0 D、 结果与 b 有关 【详解】：因为 2 x bx sin R 在 内连续且为奇函数 ，所以在关于原点对称区间内积分等于 0， 选 A。 二．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1. 设 f(x)是定义在（0,1）上的函数，则 f x lg( ） 的定义域是___ (1,10) _ 。 【详解】： 因为 t x t x x =lg , (0,1) lg 0,1 1,10 则 ，也即 ( )故 ( ) 2.当 a=___0 时，函数 ( ) 3 2 f x = x + ax − 是偶函数。 【详解】： 2 2 f x f x x ax x ax a ( ( ) 3 3 0 ）= − + − = − − = ，故 3. 设 f a( ) 1 = ， 则： 0 ( 2 ) ( ) lim h f a h f a h → + − = _____； 【详解】： 0 0 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) lim 2lim 2 ( ) 2 2 h h f a h f a f a h f a f a h h → → + − + − = = = 4. 2 1 2 1 ( ) 1 1 + − = x x f x 的间断点是 x = 0 ，它是第 一 类间断点。 【详解】：显然 x = 0, 函数没有定义，且 1 1 0 0 lim 2 0; lim 2 x x x x → → − + = = + ，所以; 1 1 0 2 1 lim 1 2 1 x x x → − − = − + ; 1 1 0 2 1 lim 1 2 1 x x x → + − = + 5. 0 tan 3 lim x x → x 的极限____3 ， 2 1 lim sin x x → x 的极限____0 。 【详解】： 0 0 tan 3 3 lim = lim =3 x x x x → → x x ， 2 0 1 lim sin 0, . x x → x = 无穷小与有界函数的积仍为无穷小 6.当 → + x 0 时， −1 x e 是 x 的____低 阶无穷小。 【详解】： 因为 0 0 1 lim = lim = x x x e x → → x x − 。 7. 2 0 1− = x dx _______；
【详解-恤=-达-=1号-1= -9 【详解： =水--0-号 三、（每题5分，共30分） 1.已知y=hcos-,求y 【解：由题有：=（仁s咖）*（←之）= dx 1 13）】 2.求极限lim (x+1x3+1 【详解】：原式-lim -x-2-lim、 x-2 x3+1 x2-r+1 3.求：y=e2x-xlog2x+arctan 2π 微分 【详据1=2e+lg:x+i2达=(2e+loe+62h xIn2 4.试求曲线y=a-x-b的拐点及凹凸区间 【详解1：函数在（∞，b]上是凸的，在b,+o∞）上是凹的， y=-(x-6),-弓-b小：可现：=by不有在，且 在它左右，y”变号，所以函数的拐点为(b,a); 5.求： 小-行-0- =-21-x2）-arcsinx+c
【详解】： 2 1 2 0 0 1 1 3 1 (1 ) ( 1) 1 1 1 2 2 − = − + − = − + − = x dx x dx x dx 8. + 2 0 1 1+ dx x = 。 【详解】： 2 0 0 1 arctan 0 1 2 2 dx x x + + = = − = + 三、（每题 5 分，共 30 分） 1. 已知 y x y = ,求 1 ln cos 【详解】：由题有： ) 1 )*( 1 *( sin 1 cos 1 2 x x x dx dy = − − 2 1 tan x x = 2.求极限 3 1 1 3 lim x→ − x x 1 1 − + + 【详解】：原式 = 2 3 1 2 lim x 1 x x →− x − − + = 2 1 2 lim x 1 x →− x x − − + =-1 3.求： 5 2 log 2 arctan 2 y = e − x x + x 微分 【详解】： 2 2 2 2 1 (2 log ) (2 log ) ln 2 ln 2 x x x dy e x dx e x dx x = + + = + + 4. 试求曲线 3 y a x b = − − 的拐点及凹凸区间 【详解】：函数在 (− ,b 上是凸的，在 b,+) 上是凹的. ( ) 2 3 1 3 y x b − = − − ， ( ) 3 5 9 2 − y = x − b ;可见; x b = 时, y 不存在,且 在它左右, y 变号,所以函数的拐点为（b,a）; 5.求： − − dx x x 2 1 2 1 【详解】：原式= 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = (1 ) 1 1 1 1 x dx dx d x dx x x x x − − − − − − − − ( ) 1 2 = 2 1 arcsin 2 − − − + x x c
【详解】：令 2x=sm1,k=2c0sh,x=0,1=0:x=2,1= 2 代入积分，得 -rk=f2csh=a+os2oa-（t+a2- 2 或由几何意义： 2 四、（每题10分，共20分） 1.己知口服一定剂量的某药物后，先进入血液循环，然后在机体不同部位发挥作用， 若进入血液的速率为：f)=M(t-4)2,0≤1≤4，k为常数。问该药被吸收的总 量是多少？ 【球解上8量为Q=0-4山=任多+心于 2.过抛物线y=x2上一点p(a,a)做切线，问a为何值时，所作切线与抛物线 y=-x2+4x-1围成图形面积最小，并求最小图形面积。 【详解】：切线方程为y=2am-a2,它与抛物线：y=-x2+4x-1的交点为： x2=(2-a)±V2a2-4a+3: 面积为s=小克-f+4-l2a+dh=0a-4a+3, S=22a2-4a+3)(4a-4)=0,得a=1当a=1时，所围面积最小，S小=3 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（二) 答案详解 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知a=x4,B=4x2,则当x→0时a是B的(B)阶无穷小 A.4 B.2 C.3 D.1
6. 2 2 0 1 1 4 − x dx 【详解】：令 x sin t 2 1 = ，dx = 2costdt ， x = 0,t = 0 ； 2 2 , x = t = 代入积分，得 2 2 0 1 1 4 − x dx = 2 0 2 2cos tdt = + 2 0 (1 cos 2 ) t dt = 2 sin 2 2 1 2 0 = t + t . 或由几何意义: 2 2 0 1 1 4 − x dx = 2 2 2 0 1 1 1 4 2 2 2 4 2 x dx − = = 四、（每题 10 分，共 20 分） 1. 已知口服一定剂量的某药物后，先进入血液循环，然后在机体不同部位发挥作用， 若进入血液的速率为： 2 f t kt t ( ) ( 4) , = - 0 4, t k为常数 。问该药被吸收的总 量是多少？ 【详解】： 总量为 4 4 4 2 3 2 0 0 8 64 ( 4) 8 4 3 3 t Q kt t dt k t t k = − = − + = 2. 过抛物线 2 y = x 上一点 ( , ) 2 p a a 做切线，问 a 为 何 值 时 ，所 作 切 线与 抛 物 线 4 1 2 y = −x + x − 围成图形面积最小，并求最小图形面积。 【详解】：切线方程为 2 y = 2ax − a ,它与抛物线： 2 y x x = − + − 4 1 的交点为： 2 1 2 x a a a ， = − − + (2 ) 2 4 3 ； 3 2 2 2 2 2 1 4 ( 4 1 2 ) (2 4 3) 3 x s x x ax a dx a a x = − + − − + = − + 面积为 , 1 2 2 S a a a a = − + − = = 2(2 4 3) (4 4) 0, : 1 得 4 1 3 = = 当a S 时，所围面积最小， 最小 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（二） 答案详解 一、 选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 已知 4 2 = = x x , 4 ，则当 x →0 时 是 的（ B ）阶无穷小 A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
【详释1m=m。名根据公式1加二心0则0是B的长阶无穷小，所 B2 16x416 以a是B的2阶无穷小。 2.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)图像上的 是 (B) A.(a,-f(a) B.(-a,-f(a) C.(-a,-f(-a)D.(af(-a) 【详解】：.f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),∴.f(-a)=-f(a) 3.设fm)=+lxs1 在x=1处可导，则a,b为 (C) ax+b,x>1 A. a=-2,b=2 B.a=0,b=2 C.a=2,b=0D.a=b=1 【详解】：·f(x)在x=1处可导，∴fx)在x=1处连续，.mar+b=a+b=f0)=2 且f年(1)=f'.(1)=2,.a=2b=0 4.计算极限li sin(x2-1） (A) x-1 A.2 B.1 C.0 D.4 【详解：lm in1lim x2-1 x-1-mx-1=x+)=2 5.设周期函数f)在(~x,)内可导，周期为4，又m0-0-=-1,则曲线 X y=f(x)在(5，f(5)点处的切线斜率为 (A) A.-1 B.1 C.2 D.-2 【详解】： mf0-)-f仙=-1，所以f0=-1,又因为周期为4，所以 x3 -x f'(1)=f'(5)=-1 6.不定积分 、的结果正确的是 (C) Jx2(1+x2 A.taretanx+C B.-arctanx+C C._1_ 1 --arctanx+C D.--+arctanx+C
【详解】： 2 β α lim = 4 4 16 lim x x = 16 1 根据公式 βk α lim =c 0 则α是β的 k 阶无穷小，所 以α是β的 2 阶无穷小。 2. 若函数 y f x x R = ( ) ( ) ， 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x = ( ) 图像上的 是 ( B ) A. ( , ( )) a f a − B. ( , ( )) − − a f a C. ( , ( )) − − − a f a D. ( , ( )) a f a− 【详解】：∵ f (x) 是奇函数，所以 f (x) = − − f x ( ) ，∴ f a ( ) − = − f a( ) 3. 设 2 1, 1 ( ) , 1 x x f x ax b x + = + 在 x =1 处可导，则 a ，b 为 （ C ） A. a b = − = 2, 2 B. a b = = 0, 2 C. a b = = 2, 0 D. a b = =1 【详解】：∵ f (x) 在 x =1 处可导，∴ f (x) 在 x =1 处连续，∴ lim (1) 2 1 + = + = = → ax b a b f x 且 + f ' （1）= − f ' （1）=2，∴ a=2 b=0 4. 计算极限 2 1 sin( 1) lim = x 1 x → x − − （ A ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4 【详解】： 1 sin( 1) lim 2 1 − − → x x x = = − − → 1 1 lim 2 1 x x x lim 1) 2 1 + = → x x （ 5. 设周期函数 f (x) 在 ( , ) −x x 内可导，周期为 4，又 0 (1) (1 ) lim 1 x f f x → x − − = − ，则曲线 y f x = ( ) 在 (5, (5)) f 点处的切线斜率为 （ A ） A. -1 B.1 C. 2 D. -2 【 详 解 】： 1 (1 ) (1) lim 0 = − − − − → x f x f x ，所以 f (1) =-1 ，又因为周期为 4 ，所以 f f (1) (5) 1 = = − 6. 不定积分 2 2 1 (1 ) dx x x + 的结果正确的是 ( C ) A. 1 arctan x C x + + B. 1 arctan x C x − + C. 1 arctan x C x − − + D. 1 arctan x C x − + +
7.下列是函数y= 2x的凹区间的是 (C) Inx A(0,1) B.(1,e2)和(0,1) C.(1,e2) D.(1,e2)和e2,+oo 2lnx-2 2对-22nx-2hx-2hx+4 .4 【详解】：y= =-x x,令y”=0得 (Inx) In3x x=e2此函数定义域为(0,1)U(1,+∞) (0,1) (1,e2) e (e2,+∞) y - 无 + 1 y 凸 无 凹 拐点(e2,e2) 凸 8变限积分广 sin21d的导数为 (B) A.sin2x2-sin2x B.2xsin 2x2-sin 2x C.cos 2x2-cos2x D.2x cos2x2-cos2x 【详解1k广sin2d=sn2d+广sm2h=-sin2x+sin2x(x)=2xsin2x2-in2x 9.1=∫sec'xdx,则I= (A) 2nlsecx+ian+2tanxsecx+C 1 B.Insecx+tanx-Insecx+tanx +C C.Isecx+tanc n-之nsex+iam对+see xtan+C 【样1exh-小女-可m-可n司如，令n-
【详解】：解析:原式= 2 1 dx x 2 1 (1 ) dx x − + 1 = arctan x C x − − + 7. 下列是函数 2 ln x y x = 的凹区间的是 （ C ） A(0，1) B.(1, 2 e )和(0，1) C.(1， 2 e ) D.(1， 2 e )和 ( ,+) 2 e 【详解】： 2 2ln -2 (ln ) x y x = , x x x x x x x x x y 4 3 2 ln 4 ln 2 (ln ) (2ln 2)ln 2 (ln ) x 2 〞 − + = − − = ,令 y =0 得 2 x = e 此函数定义域为（0，1）∪（1，+∞） x （0，1） 1 (1, 2 e ) 2 e ( 2 e ,﹢∞) y - 无 + 1 2 + y 凸 无 凹 拐点（ 2 e ， 2 e ） 凸 8.变限积分 2 sin 2 x x tdt 的导数为 （ B ） A. 2 sin 2 sin 2 x x − B. 2 2 sin 2 sin 2 x x x − C. 2 cos 2 cos 2 x x − D. 2 2 cos 2 cos 2 x x x − 【详解】： 2 2 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 x x x x tdt tdt tdt = + 2 2 2 = − + = − sin 2 sin 2 ) 2 sin 2 sin 2 x x x x x x （ 9. 3 I xdx = sec ，则 I = ( A ) A. 1 1 ln sec tan tan sec 2 2 x x x x C + + + B. 1 ln sec tan ln sec tan 2 x x x x C + − + + C. 1 ln sec tan 2 x x C + + D. 1 1 ln sec tan + sec tan 2 2 − + + x x x x C 【详解】： d x x d x x dx x x dx sin (1 sin ) 1 sin cos 1 cos 1 (sec ) 3 4 2 3 − = = = ，令 sin x = μ
则照式可a--可+时布-=品+ 品+品+c 1 1+sin x 1.1+sin x+C 40+simx为'4"1-simx'41-simx 为+C=ta+n-m为 =Insecx+tanx+tan xsec x+C 2 10.利用导数描绘函数图像所需步骤顺序的正确选项是 (D） ①确定函数图形的水平渐近线，垂直渐近线以及斜渐近线： ②求出函数的定义域，讨论函数的有界性、奇偶性、周期性： ③求出方程f'(x)=0和f"(x)=0在函数定义域内全部实根，用这些实根：同函数的间断 点或导数不存在点把函数定义域划分为几个部分区间： ④求出函数的f'(x)和f"(x)。 ⑤确定这些部分区间内∫'(x)和∫"(x)符号，并用此确定函数单调性和凹凸性。 A.①②③⑤ B.①③④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 【详解】：利用导数描绘函数图形的一般步骤的第一步为②：第二步④+③：第三步为⑤： 第四步为①，故①②③④⑤都是绘图所需步骤 二、 填空题（每小题2分，共20分） 1.设函数f(4)的定义域为0，s加子-1，Sm号-1，所以sm的资装为叫 2.定积分心x后-x= 【详解1令x=asin!1e仁受&=d(asi)=acd .∫x2Va-x2dk=∫asin21cos1d(asin)=∫asin2tcos21d 1 a32
则原式= + + = − + + = + = ) μ 1 μ 1 ( 4 1 ) μ 1 μ 1 1 μ 1 ( 4 1 μ (1 μ)(1-μ ) 1 μ 1-μ 1 2 2 2 2 2 d d d d （ ） d d +C − + + + + + = 1 μ 1 4 1 ) 1-μ 1 μ ln 2 1 ( 2 1 1 μ 1 4 1 μ - 1-μ 1 4 1 μ 1-μ 1 2 1 2 （ 2） （ ） 1 1 = ln sec tan tan sec 2 2 x x x x C + + + 10.利用导数描绘函数图像所需步骤顺序的正确选项是 ( D ) ① 确定函数图形的水平渐近线，垂直渐近线以及斜渐近线； ② 求出函数的定义域，讨论函数的有界性、奇偶性、周期性； ③ 求出方程 f x ( ) 0 = 和 f x ( ) 0 = 在函数定义域内全部实根，用这些实根；同函数的间断 点或导数不存在点把函数定义域划分为几个部分区间； ④求出函数的 f x ( ) 和 f x ( ) 。 ⑤确定这些部分区间内 f x ( ) 和 f x ( ) 符号，并用此确定函数单调性和凹凸性。 A. ①②③⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【详解】：利用导数描绘函数图形的一般步骤的第一步为②；第二步④+③；第三步为⑤； 第四步为①，故①②③④⑤都是绘图所需步骤 二、 填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1. 设函数 f ( ) 的定义域为 0 1 ,则 2 f x( ) 的定义域为_____，在区间 x[1,5] 上函 数 y x = sin 的值域为_____. 【详解】：因为 0﹤ 2 x ≤1，所以 x ∈ -1,0)(0,1 ； 又因 1 2 , 3 5 2 . sin 1 2 = ， 3 sin -1 2 = .所以 sin x 的值域为 -1,1. 2. 定积分 2 2 2 0 a x a x dx − = ______. 【详解】：令 sin , ( , ), ( sin cos 2 2 x a t t dx d a t a tdt = − = =） 3 2 2 2 2 4 2 2 x a x dx a t td a t a t tdt − = = sin cos ( sin ) sin cos 4 2 = sin 2 (2 ) 8 a td t = 4 1 ( sin 4 ) 8 4 a t t C − + = 4 4 arcsin sin 4arcsin 8 32 a x a x C a a − +
∴原式= a in4arcsin ]ad_aπ 8 a32 a 08216 3.求8.02的近似值。 【保1折：设儿因=6令气专A02写 由fx+A)=Ax·f'xtfx),f8.02=f8+0.02)=0.02】8i+8≈20017 3 4.已知一个函数F(x)的导函数为 京·且当x时函数值为.则此时的函数为 1 3 【详解1-血=aax4C又：F0=CxF)=arcsin.x+T n2-1 2x2+3 5.limsin(n!) lim- 1+0 3n3+2 →西x4-x+4 11 n2-1 【详解】：①因为sin(nl)是有界量，而lim =1lim”元=0 03n2+23+ 2 n 所以limsin(nl) →0 广-山)=0（无穷小与有界函数的乘机仍是无穷小） 3n3+2 2,3 ②原式=lim + =0 1.4 6.设y=f(e)e其中fx)可微则dy=一· 【详解1：yd=[f'(e)eefo+f(e)ef.f'(xd=e/[f'(e)e+fe)f'(x) 2 7.不定积分 的解为一 1+x+2 【详解1：令u=x+2则x=3-2dx=3udu则有： j,可r-6a-1+n 1+4
∴原式= 4 4 4 4 arcsin sin 4arcsin 8 32 8 2 16 0 a x a x a a a C a a − + = = 3. 求 3 8.02 的近似值_____。 【详解】： 解析: 设 3 f x x ( ) = 令 x0=8 x=0.02 2 3 1 ( )= 3 f x x − 由 f x x x f x f x ( + ) ( )+ ( ) = ，∴ 2 1 3 3 (8.02) (8+0.02)=0.02 8 + 8 2.0017 3 f f − = 4. 已知一个函数 F x( ) 的导函数为 2 1 1− x ，且当 x =1 时函数值为 3 2 .则此时的函数为 _____. 【详解】： 2 1 ( ) arcsin 1 F x dx x C x = = + − 又∵ 3 (1) 2 F = ∴ C= ∴ F x x ( ) arcsin = + 5. 2 3 1 limsin( !)( ) n 3 2 n n → n − = + _______. 2 4 2 3 lim x 4 x → x x + = − + _______. 【详解】：① 因为 sin( !) n 是有界量，而 2 3 1 lim n 3 2 n → n − = + 3 3 1 1 lim 0 2 3 n n n n → − = + 所以 2 3 1 limsin( !)( ) 0 n 3 2 n n → n − = + （无穷小与有界函数的乘机仍是无穷小） ②原式 2 4 3 4 2 3 = lim 0 1 4 1 x x x x x → + = − + 6.设 ( ) ( )x f x y f e e = 其中 f x( ) 可微则 dy =_____· 【详解】： ( ) ( ) ( ) = =[ ( ) ( ) ( )] = [ ( ) ( ) ( )] x x f x x f x f x x x x dy y dx f e e e f e e f x dx e f e e f e f x dx + + 7.不定积分 3 2 1 2 + +x 的解为____. 【详解】：令 3 = 2 x + 则 3 x= 2 − 2 dx d =3 则有： 2 2 3 2 1 1 1 =6 =6 6 ( 1 ) 1 2 1 1 1 d d d x − + = − + + + + + +
6u-laH6i=3pi-6u+6a+小4c=3u-lI+6n+小+C =3(r+2-1)2+6In1+x+2+C 8.曲线f(x)=e+5的水平渐近线是 【详解：mf)=m.(e+5)=6,所以水平渐近线为y=6 X士0 三、计算题（每题5分，共30分） 1.求lima”+42”+a”++ak”(a,a2,,ak>0) 【详解：设a,a,,a中最大值为a,则a≤a”+a,”+…+a4”≤ka”,即 a≤lima”+a”++a”≤imk=a,由夹逼定理得ima“+a”++a”=a 10 2.已知y=V+x+反，求y. 1 【详解】：y= ≡(x+Vx+√F)y 2vx+x+ 1 2Wx+Vx+√F 2+店+网] 1 1+ 1 2Nx+√x+F2Wx+V 3.求由抛物线y=x2,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体 积。 【详解】：取x为积分变量，x∈[0,2]，由旋转体的体积公式可以得到所求旋转体体积为： -fre=号 4设函数y=f)在，+内可导.且f)=1+广fh,求x). 【详解】：由己知可知 fx)=x+∫fx)dk 两边同时对x求导可得 f(x)+xf'(x)=1+f(x) 进一步得到：∫)=1 f(x)=lnlx|+C又，x∈(0，+oo)∴.f(x)=lnx+C
1 2 =6 ( 1 +6 =3 6 6ln 1 1 d d C − − + + + + ） 2 =3 1 6ln 1 （ − + + + ） C 3 3 2 =3 2 1 6ln 1 2 （ x x C + − + + + + ） 8. 曲线 ( ) 5 1 = + x f x e 的水平渐近线是___ _____。 【详解】： 1 lim ( ) lim ( 5) 6 x x x f x e → → = + = ，所以水平渐近线为 y = 6 三、计算题（每题 5 分，共 30 分） 1.求 lim , , , 0 1 2 3 1 2 ( ) n n n n n k k n a a a a a a a → + + + + 【详解】：设 1 2 , , , k a a a 中最大值为 a,则 1 2 n n n n n n n n k a a a a ka + ++ ,即 1 1 2 lim lim n n n n n k n n a a a a a k a → → + + + = ，由夹逼定理得 2 1 lim n n n n k n a a a a → + ++ = 2．已知 y x x x = + + ,求 y 。 【详解】: 1 2 y x x x xxx = + + + + （ ） 1 1 [1 2 2 x x xxx x x = + + + + + （ ） ] 1 1 1 [1 1 2 2 2 x x x xxx = + + + + + （ ）] 3.求由抛物线 2 y x = ，直线 x =2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体 积。 【详解】: 取 x 为积分变量， x0,2 ,由旋转体的体积公式可以得到所求旋转体体积为： 2 2 2 4 0 0 32 ( ) 5 V f x dx x dx = = = 4.设函数 y f x = ( ) 在 (0,+) 内可导。且 1 1 ( ) 1 ( ) x f x f x dx x = + ,求 f x( ) 。 【详解】:由已知可知 1 ( ) ( ) x xf x x f x dx = + 两边同时对 x 求导可得 f x xf x f x ( )+ ( ) 1 ( ) = + 进一步得到： 1 f x( ) x = f x x C ( ) ln | | = + 又∵ x + (0, ) ∴ f x x C ( ) ln = +