第2章曲面与空间曲线的方程 $2.2曲面的方程 1、一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z),所求的轨迹为C, 则M(x,y,z)∈C台 MA =l2l 亦即V(x-4)2+y2+z2=间 .(x-4)2+y2=0 山于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x一4)2+y2=0 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： (1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹： (2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹： (3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹： (4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：(1)取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，月令两距离之比的 常数为m,二定点的距离为2a,则二定点的坐标为(a,0,0),(-a,0,0),设动点M(x,y,z), 所求的轨迹为C,则 M(x,y,2)∈C台√(x-a)2+y2+z2=mVx+a)2+y2+z2 亦即(x-a)2+y2+z2=m2[(x+a)2+y2+z2] 经同解变形得：(1-m2)(x2+y2+z2)-2a(1+m2)x+(1-m2)a2=0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。 (2)建立坐标系1(1)，但设两定点的距离为2C,距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z), 要求的轨迹为C, M(x.y,z)EC(x-c)+y2+2+(x+c)+y2+22=2a 亦即 V(x-c)2+y2+z2=2a-Vx+c)2+y2+z2 两边Ψ方月整理后，得：(a2-c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2-c2) (1) a>c.令b2=a2-c2 从而(1)为b2x2+a2y2+a2z2=a2b2
即：b2x2+a2y2+a2z2=a2b2 山于上述过程为同解变形，所以(3)即为所求的轨迹方程。 (3)建立(2)的坐标系，设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C, 则M(xy,z)eC台V(x-c)2+y2+z2+V(x+c)2+y2+z2=±2a x2 y2 22 类似于(2)，上式经同解变形为： a622 =1 其中b2=c2-a2(c>l) (*) (*)即为所求的轨迹的方程。 (4)取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0，c),再令距离之比为 1n。 设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,则 M(x,y,z)∈C台 x2+y2+z2=mz 将上述方程经同解化简为：x2+y2+(1-m2)z2-2cz+c2=0 (*)》 (*)即为所要求的轨迹方程。 2、求下列各球面的方程： (1)中心(2，-1,3)，半径为：R=6 (2)中心在原点，月经过点(6，-2,3)： (3)一条直径的两端点是(2-3,5)与(4,1，-3) (4)通过原点与(4,0,0)，(1,3,0)，(0,0，-4) 解：(1)山本节例5知，所求的球面方程为： (x-2)2+(0y+1)2+(z-3)2=36 (2)山已知，球面半径R=√62+(-2)2+32=7 所以类似上题，得球面方程为 x2+y2+z2=49 (3)山已知，球面的球心坐标a=2+4=3,b=-3+=-1,c 2 2 5-3=1,球的半径 2 R=4-2)+1+3)+5+3)-瓦，所以球面方程为：
(x-3)2+y+1)2+(z-1)2=21 (4)设所求的球面方程为：x2+y2+z2+2g+2hy+2kz+1=0 因该球面经过点(0,0,0)，(4,0,0)，(1,3,0)，(0,0，-4)，所以 [1=0 16+8g=0 (1) 10+2g+6h=0 16-8k=0 解(1)有 1=0 h=-1 g=-2 k=2 ∴，所求的球面方程为x2+y2+z2-4x-2y+4z=0 §2.3空间曲线的方程 1、平面x=c与x2+y2-2x=0的公共点组成怎样的轨迹。 解：上述二图形的公共点的坐标满足 x2+y2-2x=0三 y2=c(2-c) x=c x=c 从而：(I)当02或c<0时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与二个坐标面的交线分别是什么曲线？
(1)x2+y2+16z2=64: (2)x2+4y2-16z2=64: (3)x2-4y2-16z2=64: (4)x2+9y2=16z 解：(1)曲面与x0y面的交线为： x2+y2+16z2=64 x2+y2=64 z=0 z=0 此曲线是圆心在原点，半径R=8月处在xOy面上的圆。 同理可求出曲面x2+y2+16z2=64与y0z面(x=0)及z0x面(y=0)的交线分别为： y2+16z2=64 x2+16z2=64 x=0 y=0 它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，月处在y0z面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在 x轴上，月处在zox面上的椭圆： (2)山面x2+4y2-16z2=64与x0y面(z=0),J0z面(x=0),，z0x面(y=0)的交线 分别为： [x2+4y2-16z2=64x2+4y2-16z2=64x2+4y2-16z2=64 z=0 x=0 y=0 亦即： x2+4y2=64[y2-4z2=16x2-16z2=64 z=0 x=0 y=0 即为中心在原点，长轴在x轴上，月处在xOy面上的椭圆：中心在原点，实轴在y轴，月处 在)0z面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，月处在z0x面上的双曲线。 (3)曲面x2-4y2-16z2=64与xoy面(z=0),0z面(x=0),z0x面(y=0)的交线 分别为： [x2-4y2-16z2=64x2-4y2-16z2=64「x2-4y2-16z2=64 z=0 x=0 y=0 亦即 x2-4y2=64-4y2-16z2=64x2-16z2=64 z=0 x=0 y=0 即为中心在原点，实轴在x轴，月处在xoy面上的双曲线：无轨迹以及中心在原点，实轴在 x轴上，月处在z0x面上的双曲线。 (4)曲面x2+9y2=16z与x0y面(z=0),y0z面(x=0),z0x面(y=0)的交线分别 为： x2+9y2=16zx2+9y2=16zx2+9y2=16z z=0x=0y=0
亦即 x2+9y2=0[9y2=16z「x2=16z z=0 x=0y=0 即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，月处在yOz面上的抛物线，以及顶点在原点， 以z轴为对称轴，且处在z0x面上的抛物线。 3、求下列空间曲线对二个坐标面的射影柱面方程。 [x2+y2-z=0. (1) (2) [x2+z2-3yz-2x+3z-3=0=0 z=x+1 y-z+1=0 x+2y+6z=5 (4) x2+y2+z2-1 (3) 3x-2y-10z=7 x2+(y-1)2+(z-1)2=1 x2+y2-z=0 解：(1)从方程组{ z=x+1 分别消去变量x,yz,得：(z-1)2+y2-z=0 亦即： z2+y2-3z+1=0 (I) z-x-1=0 (Ⅱ) x2+y2-x-1=0 (Ⅲ) (I)是原曲线对y0z平面的射影柱面方程： (Ⅱ)是原曲线对z0x平面的射影柱面方程： (Ⅲ)是原曲线对xOy平面的射影柱面方程。 (2)按照与(1)同样的方法可得原曲线 (I)对yoz平面的射影柱面方程：y-z+1=0: (Ⅱ)对z0x平面的射影柱面方程：x2-2z2-2x+6z-3=0: (Ⅲ)对xoy平面的射影柱面方程。x2-2y2-2x+2y+1=0。 (3)原曲线对0z平面的射影柱面方程：2y+7z-2=0 原曲线对z0x平面的射影柱面方程：x-z一3=0 原曲线对x0y平面的射影柱面方程：7x+2y-23=0 (4)原曲线对)0z平面的射影柱面方程：y+z-1=0 原曲线对z0x平面的射影柱面方程：x2+2z2-2z=0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：x2+2y2-2y=0
