第五章二次曲线的一般理论 教学目的 1、了解复平面的特征： 2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概 念及求法： 3、弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标 变换在化简二次曲线方程中所起的作用： 4、能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并与 出相应变换关系式，作出其图形。 教学重点 1、二次曲线山渐近方向、中心、标准方程得出的个同分类方法： 2、二次曲线方程的化简、分类与作图。 教学难点 移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程 中所起的作用。 §5.1二次曲线与直线的相关位置 教学目的 1、了解复半面的特征： 2、熟记二次曲线方程中的有关记号： 3、掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。 教学重点 二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置 教学难点 二次曲线与直线位置的判别方法 教学内容 在平面上，山二元二次方程 F(x,y）=a11x2+2a2xy+a22y2+2a13x+2a2ay+a3=0 所表示的曲线叫做二次曲线 在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线方程的化简，对二次曲 线进行分类.我们将从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开一般二次曲线 的几何理论的研究，讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径和主
直径等重要概念与它们的性质，讨论一般二次曲线方程的化简与判别，给出二次曲线 按不同角度的分类 平面上，山二元二次方程 F(x,y）=a11x2+2a12y+a22y2+2a13x+2a23y+a3=0 所表示的曲线叫做二次曲线， 在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线方程的化简，对二次曲 线进行分类.我们将从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开一般二次曲线 的几何理论的研究，讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径和主 直径等重要概念与它们的性质，讨论一般二次曲线方程的化简与判别，给出二次曲线 按不同角度的分类， 一、位置关系 平面上二次曲线与直线的位置关系有三种：相交（实交点或虚交点），相切，相 重（直线在二次曲线上）. 二、判别方法 设二次曲线为 F(x,y）=a11x2+2a12xy+a2y2+2a13x+2a23y+a33=0 ① 过点(x0,y0)月具有方向X:Y的直线为 x=xo +Xt y=yo+Yt ② 将②代入①得 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0 则①与②的相关位置如下： 1.(X,Y)0,设 =[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0). (1) >0时，直线②与二次曲线①有两个不同的实交点： (2) =0时，直线②与二次曲线①有两个相五重合的实交点： (3)<0时，直线②与二次曲线①交于两个共轭的虚点. 2.(X,Y)=0, (1)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y0时，直线②与二次曲线①有唯一的实交点： (2)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0,而F(x0,y0)0时，直线②与二次曲线① 没有交点： (3)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=F(x0,y0)=0时，直线②全部在二次曲线①上
§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 教学目的 1、理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念： 2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法： 3、能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。 教学重点 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法 教学难点 根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类 教学内容 一、渐近方向 1.定义1：满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线F(x,y)=0的渐近方 向，否则叫做非渐近方向，二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无数多， (X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2=0中，因为a11,a12,a22个全为零，所 以渐近方向X:Y总有确定的解： (1)》 如果a11≠0，那么a11(登)2+2a12(音)+22=0，则得 X:y=(-a12±a-44知)：a11=(-a12±VF石)：a1: (2) 如果a22≠0，那么a22(交)2+2a12()+a11=0,则得 Y:x=(-a12±V42-4aa):a22=(-a12±VF4):a22: (3) 1果a11=a22=0,那么一定有al2≠0，这时2a12XY=0, 所以 X:Y=1:0或0：1， 0 而此时 I2=112 0 a1220: (2)抛物型曲线：I2=0: (3)双曲型曲线：I2<0
二、中心 1.定义3：当(X,Y)0,即X:Y为非渐近方向时，二次曲线F(x,y)=0与直线 x=x+沿 1:y=名+疗总交于两个点（两个不同实点或两个重合实点或一对共轭虚点），把由这 两点所决定的线段叫做二次曲线的弦 2.定义4：1果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而C是二次曲线的对 称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。 3.定理1：点C(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的中心的充要条件是 (区，)=本+az+=0, 可（不，y)=ax+aa片+a3=0 证明：设点C(x0,y0)是二次曲线I的中心，那么过点C(x0,y0)月以二次曲线T x=无+0 的任意非渐进方向X:Y为方向的直线1：y=片+分与二次曲线Γ交于两点M1,M2, x=无+0 点C(x0,y0)就是弦M1M2的中点，将y=名+2代入二次曲线T的方程可得 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+Ff2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0, 此方程有两个根t1,t2,则M1,M2的坐标为(x0+Xt1,y0+Yt1)和(x0+Xt2,y0+Yt2). 所以中点C的坐标为 1 1 x0=2(x0+Xt1+x0+Xt2)=x0+2X(t1+t2), 1 1 y0=2(y0+Yt1+y0+Yt2)=y0+2Y(t1+t2), 从而有 t1+t2=0, 即 XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0 山X:Y的任意性得F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. 反过来，适合上面两式的点C(x0,y0),显然是二次曲线Γ的中心. 推论1：坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线方程中不含x与y的一次项. 推论2：二次曲线T:F(x,y)=0的中心坐标山下列方程组决定 x)4x+4y+4=0, (x.y)=a:x+any+an=0. 4.定义5：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做 无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心 二次曲线统称为非中心二次曲线
5.二次曲线Γ：F(x,y)=0按其中心的分类下： 44 (1)中心曲线： 12=anan 0: 414: L (2)非中心曲线： I2=4:a=0,即=， 1红 1 无心曲线： -d42 ap, 11红1 2线心曲线： 42=a触=ds， 三、渐近线 1.定义5：通过二次曲线的中心，而月以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲 线的渐近线。 2.定理2：二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这 二次曲线上，成为二次曲线的组成部分. x=石+沿 证明：设直线1：y片+2是二次曲线「的渐近线，这甲(x0,y0)是二次曲线 Γ的中心，X:Y是二次曲线的渐近方向，那么我们有 F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0,(X,Y)=0. 因此根据直线与二次曲线的位置关系，可知： 当点(x0,yO)不在二次曲线T上，即F(x,y)≠0时，渐近线与这二次曲线没有 交点： 当点(x0,y0)在二次曲线Γ上，即F(x,y)=0时，渐近线全部在二次曲线上，成 为二次曲线的组成部分 例1.试证明1果二次曲线 a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23v+a33=0 有渐近线，那么它的两渐近线方程是 (xx0,yy0)a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2=0, 式中(x0,y0)为二次曲线的中心. 证明：设(x,y)为渐近线上任意一点，则曲线的渐近方向为 X:Y=(xx0):(yy0), 所以 (xx0,y0)=0, 即 a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2=0
例2.求二次曲线x23xy+2y2+x3y+4=0的渐近线. 解法一：山 x-3y+-0 3 2 2 3 2+2y-20 解得中心为C(5, 3),山(X,Y)=X23XY+2Y2=0解得渐近方向为 X1:Y1=2:1,X2:Y2=1:1, 所以渐近线方程为 x+5y+3 x+5y+3 2=1, 1-1, 即 x-2y-1=0,x-y+2=0. 解法二：同解法一求得中心为C(5,3),山上题得渐近线为 (x+5,y+3)=(x+5)23(x+5)(y+3)+2(y+3)2=0, 或 [(x+5)2(y+3)][(x+5)(y+3)]=0, 即 x2y1=0,xy+2=0. 例3.证明以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0. 证明：设以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线为 F(x,y）a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 它的渐近线为 (xx0,yy0)=0. 其中(x0,y0)为曲线的中心，因为它是关于xx0,yy0的二次齐次式，所以它 可以分解为两个一次式之积，从而有 (x x0,y yo)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C). 但另一方面 (xx0,yy0)=a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2 =a11x2+2a12xv+a22y22(a11x0+a12v0)x2(a12x0+a22y0)y+a11x02 +2al2x0y0+a22y02, 因为(x0,y0)为曲线的中心，所以有 a11x0+a12y0=al3,a12x0+a22y0-a23, 因此 (xx0,yy0)=F(x,y)+(x0,y0)a33. 令 (x0,y0)a33=D,代入上式就有F(x,y)=(xx0,yy0)+D, 即 F (x,y)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D, 故以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线可写成 (Alx+B1v+C1)(Ax+By+C)+D=0
例4.求下列二次曲线的方程. (1)以(0,1)为中心，月通过点(2,3)，(4,2)与(1,3)： (2)通过点(1,1)，(2,1)，(1,2)月以直线x+y1=0为渐近线， 解：(1)：设二次曲线方程为 F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 山于曲线以(0,1)为中心，从而 a12+a13=0,a22+a23=0, 又曲线过(2,3)，(4,2)，(1,3)，故有 4a11+12a12+9a22+4a13+6a23+a33=0, 16a11+16a12+4a22+8a13+4a23+a33=0, a11+6a12+9a222a136a23+a33=0. 山以上五式解得： 1 al1:al2:a22:al3:a23:a33=0:2:0: 2:0:4 故所求二次曲线方程为xyx=0. (2):山上题结论，设二次曲线方程为 (x+y1)(Ax+By+C)+D=0, 因曲线过(1,1)，(2,1)，(1,2)，从而有 (A+B+C)+D=0, 2(2A+B+C)+D=0, 4(A2B+C)+D=0. 即 A+B+C+D=0, 4A+2B+2C+D=0, 4A+8B4C+D=0. 山以上三式解得A:B:C:D=2:3:3:4, 代入所设方程就有(x+y1)(2x3y3)+4=0, 化简整理得2x2xy3y25x+7=0. 作业题： 1.求下列二次曲线的渐近方向，并指出曲线是属于何种类型的. (1)x2+2xy+y2+3x+y=0: (2)3x2+4xy+2y26x2y+5=0: (3)2xy4x2y+3=0. 2.判断下列二次曲线是中心曲线、无心曲线还是线心曲线
(1)x22xy+2y24x6y+3=0: (2)x24xy+4y2+2x2y1=0: (3)9x26xy+y26x+2y=0. 3.求下列二次曲线的中心 (1)2x2+5xy+2y26x3y+5=0: (2)9x230xy+25y2+8x15y=0: (3)4x24xy+y2+4x2y=0. §5.3二次曲线的切线 教学目的 1、理解二次曲线的切线及奇异点和正常点概念： 2、掌握求二次曲线的切线方程的方法。 教学重点 二次曲线的切线概念及求法 教学难点 过二次曲线外一点求二次曲线的切线方程 教学内容 一、概念 1.定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫 做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点：果直线全部在二次曲线上，我们也 称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点. 2.定义2：二次曲线F(x,y)=0上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点 (x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点：二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正 常点.奇点是中心，但中心不一定是奇点。 注：(1)二次曲线有奇点的充要条件是I3=0, (2)二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然. 二、切线求法 1. 已知切点求切线： 设点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0上的点，则通过点(x0,y0)的直线方程总 x=本+沿 可以写成少=为+2
那么此直线成为二次曲线切线的条件，当(X,Y)0时 =[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0)=0. 因为点(x0,y0)在二次曲线上，所以F(x0,y0)=0:因而上式可化为 F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0. 当(X,Y)=0时除了F(x0,y0)=0外，唯一的条件仍然是 F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0. (1)果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点：那么山以上条件得 X:Y=F2(x0,y0):(-F1(x0,y0)), 因此切线方程为 x=+瓦(m) y=%-()4 x--y-% 或写成 F(0%)-(0,) 或 (xx0)F1(x0,y0)+(yy0)F2(x0,y0)=0, 其中(x0,y0)是它的切点： (2)1果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的奇异点，即F1(x0,y0)=F2(x0, y0)-0,则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点(x0,y0)的切线不确定，这 时通过点(x0,y0)的任何直线都和二次曲线F(x,y)=0相交于相互重合的两点， 我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线 这样我们就得到 定理1：如果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点，则通过点(x0,y0) 的切线方程是(xx0)F1(x0,y0)+(yy0)F2(x0,y0)=0,(x0,y0)是它的切点. 1果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的奇异点，则通过点(x0,y0)的每 一条直线都是二次曲线F(x,y)=0的切线. 推论：如果点(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的正常点，则通过点(x0,y0) 的切线方程是a11x0x+a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)十a23(y+y0)+a33=0. 证明：过点(x0,y0)的切线方程可改写成 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)[x0F1(x0,y0)+y0F2(x0,y0)]=0, 那么 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)[x0F1(x0,y0)+y0F2(x0,y0)+ F3(x0,y0)]=0, 则有 xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0, 即 x(a11x+a12y+al3)+y(a12x+a22y+a23)+(al3x+a23y+a33)=0, 从而得a11x0x+a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)+a23(y+y0)+a33=0. 2. 己知二次曲线外一点，求过此点的切线：
设点(x0,y0)不是二次曲线上的点，即F(x0,y0)0,则过点(x0,y0)的直 x=+近 线方程为少=名+2 此直线成为二次曲线上切线唯一条件是 (X,Y)0月=[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0)=0. 山此解出X:Y,从而得（两条）切线的方程. 例1.求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程。 (1)曲线3x2+4xy+5y27x8y3=0,在点(2,1)： (2)曲线x2+xy+y2十x十4y+3=0,经过点(2,1). 解：(1)F(x,y)=3x2+4xy+5y27x8y3,F1(x,y)=3x+2y F2(x, y)=2x+5y4,因为F(2,1)=12+8+51483+=0,月 9 F1(2,1)-2≠0， F2(2,1)=5≠0， 所以，点(2,1)是二次曲线上的正常点. 9 因此切线方程为 2(x2)+5(y1)=0, 化简得 9x+10y28=0. 11 (2)F(x,y)=x2+xy+y2+x+4y+3,F1(x,y)=2 2 F2(x,y)= 2x+y+2 因为F(2,1)=40,所以点(2,1)个在曲线上，而F1(2,1)=2, F2(2,1)=0, x=-2+粒 设所求切线方程为 y=-1+ 山(2X)24(X2+XY+Y2)=0得X1:Y1=1:1, X2:Y2=1:0, x=-2-1 x=-2+t 所以两条切线方程为 y=-1+t与 y=-1 即 x+y+3=0 y+1=0. 例3.已知曲线x2+4xy+3y25x6y+3=0的切线平行于x+4y=0,求切线方程和 切点坐标 解：设切点为(x0,y0),则切线方程为
