高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第二节对坐标的曲线积分 教学内容：对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算法 两类曲线积分之间的联系 教学目标：理解对坐标的曲线积分的概念和性质， 掌握对坐标的曲线积分的计算法 了解两类曲线积分之间的联系 教学重点：对坐标的曲线积分的概念和计算方法 教学难点：对坐标的曲线积分的计算法 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1、变力沿曲线所作的功： 设一个质点在xOy面内在变力F(x)=P(x,)+Q(x)j的作用下从点A沿光滑曲线 弧L移动到点B试求变力F(x,)所作的功. 变力沿直线所作的功 W=FAB cos0=F·AB 解决办法：“大化小、常代变、近似和、取极限” 1)大化小：用曲线L上的点仁M,A,··,A-,A=B把L分成n个小弧段， 2)常代变：设A=(x,),有向线段AA的长度为△S,它与X轴的夹角为，则 AA+1={COS TA,sint}△sk(=0,1,2,··,n-1). 显然，变力F(x)沿有向小弧段A4所作的功可以近似为 F()A=[P(xy)cosT+(y)sin T&lAsg 霜P5,7A建0，”安A力 3)近似和 于是 F(x月所作的功 (cosinr, =2[P5,7A+05,nA】
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 4)取极限： )cosr,+(x)sin A k =lim >[P(,)Ax:+(5,)Ay: 其中2是各小弧段长度的最大值， 提示：用△s={△x,△y}表示从L,的起点到其终点的的向量.用△s表示△s,的模， 对坐标的曲线积分的定义： 定义设函数f(x)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L,L,·,L 小弧段L,的起点为(x-,y-),终点为(x,),△x=x-x-,△y=-y-；(5,)为L:上任意 一点，元为各小弧段长度的最大值. 如果极限m之传，Ax总存在，则称此极限为函数 i=l x)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作f(x,)c,即 f f.ydx-im. 101 如果极限1im∑f传，)△y总存在，则称此极限为函数 元01 八x)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作)f化，)，即 fw=四2fGw4y 0-1 设L为xOy面上一条光滑有向曲线，(cost,sin是与曲线方向一致的单位切向量，函 数P(x)、Q(x)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在，我们就定义 P(x,)d=P(xy)cosrds, (xy)dy=[(xy)sin rds, 前者称为函数P八x)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，后者称为函数Q(x,)在有向曲 线L上对坐标y的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分： 定义的推广： 设「为空间内一条光滑有向曲线，{cosa,cosB,cos力是曲线在点(xgz)处的与曲线 方向一致的单位切向量，函数P(x,g2）、Q(x,g2)、R(x马)在下上有定义.我们定义（假 如各式右端的积分存在) 「P(x,y,z)d=「Px,y,z)cosads, 3
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 ∫0xy,24=「0xy2cosk, [R(x,y,z)d=[R(x,y,z)cosyds [x.y.xd-mim x λ→0i-1 ,h=m2G,5A. 元→0e1 [r.y.z)-m.5z 元01 对坐标的曲线积分的简写形式： (dy=[P(dy; 「Py2)k+「0xyz+「R(x,y,2)b =[P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 对坐标的曲线积分的性质： (1)如果把L分成和，则 Pdx+Ody=[Pdx+Qdy+[Pd+Qdy (2)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则 [P(x,+Q(x,d=-[P(x.+Q(x.dy. 说明：对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向： 定积分是第二类曲线积分的特例。 二、两类曲线积分之间的关系 设{(cos,sint}为与△s同向的单位向量，我们注意到{△x,△}=△s,所以△x=c0st△S, △y=sintrAs, f(x.ydx=im)Ax 0 =lim >f)cosrAs;=[f(x,y)cosrds, 20e -=立 =lim )sin r;As;=f(y)sin rds 即[Pk+0d=[Pcosr+-0sink,或Adt=4id
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 其中4仁(PQ,t={cos,sin)为有向曲线弧L上点(x,)处单位切向量，dtds=(d,dy. 类似地有「Pc+Qd+Rd=∫[Pcosa+QcosB+Rcos门s, 或 L-dr=[A-tds-[Ads 其中4：(PQ,={cosa,cosp,cos小为有向曲线弧T上点(xy2)处单们切向量，-Tds ={dx,dy,dz,A,为向量A在向量t上的投影. 三、对坐标的曲线积分的计算： 定理：设P八x)、Q(x)是定义在光滑有向曲线上：=(t),=w(t), 上的连续函数，当参数t单调地由a变到B时，点抓x)从L的起点A沿L运动到终点B则 xd=di, [.dy-dr 讨论：∫Px,y)kc+0(x,)d=? 提示： [Pxy+Ox.dv-P.+)vdi 定理：若P八x)是定义在光滑有向曲线上：=p(t),=w(t)(as≤B 上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则 [Pd=di 简要证明：不妨设a心B.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为(o(t),W(t),所以 p'() V02(t)+y2(t0 从而 P(xdx=[P(x,y)costds -0uolo89司 p'() +vdt-Mo.d. 注意下限a对应L的起点，上限B对应L的终点，a不一定小于B, 讨论：若空间曲线厂由参数方程=p),y=y（t),=o(t) 给出，那么曲线积分」P(Cx,y,z+Qx,y,2)妙+R(x,y,z证=？ 如何计算？提示： [P(x.y.z)+Q(x,y.z)dy+R(x,y,z)dz -Po.v(.o(+O).v).0W(-+R).v).b(d. 其中α对应于T的起点，B对应于下的终点
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例1.计算∫9k,其中L为抛物线广=x上从点A1,-)到点B1,1)的一段弧 解法一：以x为参数.L分为A0和OB两部分：A0的方程为y=-√x,x从1变到0；OB的 方程为y=√乐，x从0变到1. 因此n=loh+-∫(Rk+=2k专 第二种方法：以y为积分变量.L的方程为=，y从-1变到1.因此 =202yw=2,yw-号 例2.计算2本 (1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周X+=: (2)从点A(a0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解(1)L的参数方程为x=a cos0=asin8,0从0变到x.因此 a sin-asindeaco (②)L的方程为=0，x从a变到-a因此∫y2=0k=0 例3计算∫2c+x2小.()抛物线=上从00,0)到B1,)的一段弧；(2)抛物 线=y上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)从00,0)到A(1,0),再到R(1,1)的有向折 线OAB. 解(1)：=x,x从0变到1.所以 [2xd+xdy=f(2xx2+x2.2x)d=4fxd=1. (2):=,y从0变到1.所以 [2xydx+xdy=f(2y2.y.2y+y4)dy =5fydy=1. (3)0A=0,x从0变到1；AB=1,y从0变到1 2xy+xd=2xvd+xdy+2xyd+xd =j2x0+x2.0d+j2y0+1-0+1=l 例4.计算「xk+3ay2-x2yb,其中r是从点A3,2,1)到点B0,0,0)的直线段 AB 解：直线B的参数方程为=3t,=2七，=七，t从1变到0.所以 1=ep-3+32p22-6p-21h-87rh=-87
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例5.设一个质点在M(x)处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F 的方向指向原点、此质点由点么0沿椭图手+茶1按逆时针方向移动到点0分。 求力F所作的功限 解：椭圆的参数方程为=优0s广然int,t从0变到受 r=OM=i+疗，F=rK分=ki+7,其中0是比例常数 于是 W=-kxdx-kydy=-kgxdx+ydy k(-a2costsint+b2sintcost)d()sintcostd(b2) 三、两类曲线积分之间的联系 由定义，得 [Pdx+Qdy=[(Pcosr+Osinds=[Pcost,sinds=[F-dr 其中P{P,={cosx,sin为有向曲线弧L上点(x,)处单位切向量，dr-Tds{dxdy 类似地有 [Pdx+Qdy+Rdz=[(Pcosa+OcosB+Rcosy)ds =[P.O.R(cosa,cosB.cosyds=[F.dr 其中P户{PQ,={cosa,cosp,cos为有向曲线弧T上点(xy,z)处单们切向量，d=Tds dx,dy,dz ) 6
