高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第四节多元复合函数的求导法则 教学内容：多元复合函数的求导法则。 教学目标：掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 教学重点：求多元复合函数的偏导数。 教学难点：求多元复合函数的偏导数。 教学方法：新课讲授法 作 业：p821,2,3,4,5,6,7,8,11. 教学过程： 一、多元复合函数的求导法则 回顾一元复合函数求导的连锁法则. 1一元函数与多元函数的情形 定理1如果函数=)及=(t)都在点t可导，函数=u,v)在对应点(u,v)具有连续偏 导数，则复合函数z=10),以]在点t可导且有 dz oz du oz dy dt ou dt ov dt 证明设t获得增量△1，则=)和=)获得对应的增量△1，△y,由此函数=u,v) 相应地获得增量△z·因为z=孔w,)具有连续的偏导数，所以它点(u,)处可微，于是 =产A+产Av+(p）=2业△+o(△+少A+o△+op) Cu Cu dt -凭☆亮w++票rp → g-.恤+2++)m+ △t Ou dt'avdt aOv△t → =img=e血+咖 d dtan-o△t Ou dt ov dt 注： lim lim()()(v) =0, A10△tA-0p △t +=0 di' 推广：设z=f(4,y,w),=),=(),w=o(),则z=几)，)，)]对t的导数为： dz Oz du oz dy oz dw dt du dt Ov dt ow dt 上述上称为全导数。 dt 1
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 例1设z=arctan(r-y),x=3,y=4,求全导数 dt 解 _.4+2少 dt ax dt dy dt 1 1+(x-y2)7 (1×3-2y×8t) 3-64r3 1+(3t-1614)2 提间：设z化以，=0，则=？ dt 例2设z=x2+V,y=simx,求全导数 dx 解 -西.+肛.=z+z. dt Ox dt dy dt ax dy dt 1 cOSx =2x+ -cosx=2x+ 2 2W√sinx 2、多元函数与多元函数的情形 定理2如果函数=(x,y),=化，y)都在点（化，y)具有对x及y的偏导数，函数=u,) 在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[(,y),x,)]在点(x,y)的两个偏导数存 在，且有 OzOz Ou Oz.Ov Ox ou ax Ov Ox Bz Oz Ou Bz.ov Cy Cu ay Ov Cy 例3设z=w2ny,u=,v=3x-y,求和应 ax dy 解 2-.a+.0=2mnv.1+n2.13 Ox Ou Ox Ov Ox In(3x)3 3 y2(3x-y) e-z0u2=2un+2.1y dy ou by ov ay 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 3x-y 2x2 x2 y2(3x-y) 推广：设z=4,yw),=(x,y),=x,y),wx,y,则 2=2.0u+2.0Y+z.0w Ox Cu dx Ov Ox Ow Ox Oz Oz Ou Oz 0v Oz Ow Cy Ou y Ov Cy Ow Oy 提问： 1)设z4,以=x,以=0，则产=？色=？ (提示： z-z..2=z.0+.h.) x ou &x’ay ou ay'avdy 2)设4，x以且=x以，则产=？2=？ (提示： 正=0u+过，正-过+Y.) dx ou dx ax'ay oudy dy 3、其他情形 定理3如果函数=x,y)在点（化，y)具有对x及对y的偏导数，函数=(y)在点y可导， 函数z=u,)在对应点(u,)具有连续偏导数，则复合函数z=x,),y]在点（化，y)的两个 偏导数存在，且有 BzBz Bu 8x Ou ax Oz oz.Ou Oz.dv ay ou dy ov dy 例4设z=e“(u-以，u=asinx+,y=cosr-y,求产和 Z Ox y z=f(x,u,v)=e(u-v), dz ofof ou of ov 8x Ox Ou ax Ov Ox ae a (u-v)+ea acosx+ea sin x =ea[(a2+1)sinx+2ay] 2=em.1-e(-l)=2e O 例5设M=(x2+y),其中o可导，求证x-y 0 3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 证设z=x2+y2,则u=p(z) -V- =xo'(z)2y-y2x0'(z)=0 Ov 例6设z=f,x儿其中∫具有对各变量的连续的=阶偏号数，M=Xe,求二 dxov 解 色=fe'+分 Bihe axoy dy Ov =(fuxe+h)e'+f'e'+fxe+f 二、全微分形式不变性 设z=4,)具有连续偏导数，则有全微分 de=Oz du+Dzdv. Cu Ov 如果z=山，v)具有连续偏导数，而=化，y),=x,y)也具有连续偏导数，则 dk=k+2山 Ox dy 0+20+z0+座必山 Ou Ox Ov Ox ou dy ov dy =产0k+必+k+必d州 ou Ox Cy Ov dx 加+ Ou 由此可见，无论z是自变量、v的函数或中间变量、y的函数，它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性. 例7设z=e”siny,=xy,=x+y,利用全微分形式不变性求全微分. de=zdu+dv=e"sin vdut e"cos vdv e"sin v(y dx+x dy )e"cos v(dx+dy) =ye"sin v+e"cos v)dx+(xe"sin v+e"cos v)dy =e[y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+e [x sin(x+y)+cos(x+y)]dv. 小结：本节研究了求复合函数偏导数的连锁法则。与一元函数，复合函数求导的连锁法 则仍然是多元函数求导法中一个关键性的方法 4