高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 第八章空间解析几何与向量代数 第一节向量及其线性运算 教学内容：1、向量的定义；2、向量的线性运算及其基本性质： 3、空间直角坐标系；4、利用坐标作向量的线性运算： 5、向量的模、方向角、投影 教学目标：1、理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运 算。 2、了解空间直角坐标系，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式， 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 教学重点：1、向量的定义，向量的线性运算及其基本性质： 2、空间直角坐标系，向量模、方向角、投影、线性运算与坐标之间的关系 教学难点：1、向量线性运算基本性质的证明和理解； 2、向量的模、方向角、投影与坐标之间的关系 教学方法：讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助 作业：P123,5,13,14,15,18,19 教学过程： 在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的 图形和方程对应起来，从而可以用代数的方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似 的方法建立起来的。 一、 向量概念 定义：向量是既有大小（由一个大于等于零的数表示）又有方向的量。 在物理学中，有许多量不仅有大小而且有方向特征。故称之为向量（矢量）。 向量的表示：在数学中，往往用一条有方向的线段，又称有向线段来表示向量。有向线段的 长度表示该向量的大小，有向线段的方向表示该向量的方向。以A为起点，B为终点的有向 线段表示的向量。记为AB，有时用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示，比如： a,i,j,k或者a,j,k,v等等。 向量的模：向量大小叫做向量的模。即所有有向线段的长称为其模。向量AB,ā，a的模 依次记做AB,d,a。 单位向量：模为1的向量称为单位向量。 零向量：模为0的向量称为零向量，记做0,0。 【注】：(1)·不是绝对值
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 (2)零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。 向径：在直角坐标系中，坐标原点0为始点，M为终点的向量OM,称为点M对点0的向径， 由粗体字r表示。 在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的 运动速度)。而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。 相等向量：由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a 或b称为相等向量，或a和b相等，记为a=b。又说：如果两个向量经过平行移动后能够完 全重合，就称为两个向量相等。 两向量平行：若向量a,b,长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，用a=-b或者 b=-a表示；若a,b方向相同或者相反，则称a,b为平行向量，记为a/b。 两向量共线：当两个向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此 两向量平行，又称两向量共线。 两向量共面：设有k（k≥3)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公 共起点在平面上，就称这k个向量共面。 二、向量的线性运算 1、向量的加减法 向量的加法：设已知向量ā，b,以任意点0为始点（一般讲，任意二向量未必同始点， 但是利用自由向量的特点可以做到同一始点)，且分别以A,B为终点，ā=OA,b=OB, 再以0A,OB为边作平行四边形0ACB,对角线的向量OC=c,这就是a,b之和，记做ā+b=C (如图3) 图3 由ā，b求石+b的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量来规定 两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。若两个向量ā，b在同一直线上（或者 平行)，则他们的和规定为： (1)若石，b同向，其和向量的方向就是ā，b的共同方向，其模为ā的模和b的 模之和。 (2)若ā，b反向，其和向量的方向为ā，b中较长的向量的方向，其模为ā，b中 较大的模与较小的模之差。 2
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 除了向量加法的平行四边形法则外，还有一种向量加法的三角形法则： 设已知向量ā，b,现在以任意点0为始点，做ā=OA,再以ā的终点A为始点， 做AC=b,连接0C,且令OC=c,即得ā+万=c。 对于任意向量a,我们有：a+(-a)=0；a+0=0+a=d 向量的加法满足： (1)交换律：a+b=b+a(图4) (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(图5) R a+B a+6+d 6+a 图5 图4 由于向量的加法满足结合律，三个向量ā，b,c之和就可以简单地记为：ā+b+c, 其次序可以任意颠倒。一般地，对于n个向量，a2,4,…,an,它们的和可记做 ā+ā2+可++ān。它们之间不须加括号，各向量次序可以任意颠倒。 N个向量ā，a,a,…,石，相加的作图法，可由三角形法则推广如下：由空间任一点0 到OA=G,由A到A做A1A2=a2,…,最后由a,的终点A-1到A作 An1An=an得到一系列折线0AAA…A1A，连接0A,得： OA=a+a2+a3t+a则 向量的减法：我们规定a-b=a+(-b)。由此立即推得：a-a=ā+(-a)。现在我们 给出云-b的作图法（如图6），由图可见，ā-b是平行四边形另一对角线上的向量。 a 0 图6 6 A 2、向量与数的乘法： 3
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 向量a与实数几的乘积记作九a,规定元·ā是一个向量。 (1)当九>0时，元，ā表示一向量，其方向与ā方向相同，其模为d的入倍， 即2d=d。 (2)当元=0时，1ā为零向量，即2ā=0 (3)当入<0时，a表示一向量，其方向与a方向相反，其模为d的九倍， 即2=a。 【注】：当入=-1时，(-1)a与a互为负向量，故有(-1)a=-a。 向量和数的乘积符合下列运算规律： (1)结合律：2(ud=4()=（2)a (2)分配律：(2+m)a=ā+ud (a+b)=ā+2b 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=a,AD=b. 试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a+b=AC=2AM,-(a+b)=2MA D 于是M=-(a+0, 因为MC=-MA,所以MC=(a+b). 又因-a+b=BD=2MD,所以M而=)(b-a). B 由于MB=-MD,所以MB=号(a-) 定理1设向量a≠0，那么，向量平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数2，使b=1a. 证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性。 设b/a,取2= 同 当b与a同向时，取元正值，当b与a反向时，取入负值，即b=a. 这是因为能时b与1a同响。a=同-司-同 再证数的唯一性，设b=a,又设b=ua,两式相减，便得（元-u)a=0, 即-4a=0。因a≠0，故元-4=0，即元=4。 三、空间直角坐标系
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 在空间取定一点0和三个两两垂直的单位向量、了k,就确定了三条都以O为原点的两 两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成 一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系 【注】：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位 (2)通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线 (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面 在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面： x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yOz面和zOx面. 卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一 卦限，它位于xOy面的上方.在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和 第四卦限.在x加面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦 限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐标分解式： 任给向量工，对应有点M使OM=「.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体，有 r=OM=OP+PN+NM=OP+00+OR, 设 OP=xi,00=yj,OR=zk, 则 r=OM=xi+yj+zk 上式称为向量r的坐标分解式，xi、y了z水称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 显然，给定向量x就确定了点M及OP=xi,O0=j,OR=zk三个分向量，进而确 定了x、人z三个有序数；反之，给定三个有序数x人z也就确定了向量r与点M于是点 从向量r与三个有序太人z之间有一一对应的关系 M←→r=OM=xi+j+zk(x,y,z). 据此，定义：有序数太人、z称为向量（在坐标系Oxyz)中的坐标，记作=(x乃，2；有序 数x、、z也称为点（在坐标系Oxyz)的坐标，记为M机x,5z) 向量r=OM称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同 的坐标.记号(xy)既表示点M又表示向量OM 坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如：点M在Oz面上，则0；同 相，在zOx面上的点，=0；在xOy面上的点，=0.如果点M在x轴上，则==0；同样在y 轴上，有2==0；在z轴上的点，有==0.如果点M为原点，则==2=0. 四、利用坐标作向量的线性运算 5
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 (a.,ar,a),b=(b,b,b) 即 a=ai+aj开a,kbbi+b升bk, 则 atb=(aita,itak)+(bi+b:itbk) =(a+b)i+(a,+b).+(a+b)k =(adbo abn ab). a-b=(ai+a并a,k）-(b,i+bj+b,) =(a-b,)i+(a,-b,）开(a-b)k =(a-b,a-b,a-b,). a=(ari+aj升a,） =(ar)i+(a)j升(a)k =(几a,a,元a) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a=(a,a,a)≠0，b=(b,b,b),向量b/ab-1a,即b/a台(b,b,b.)=(a,a,a), 于是点=点6 ax av a 例2求钢以向量为未知元的线性方程组信C其中=么，12，仁-2》 解 如同解二元一次线性方程组，可得 x=2a-3b,=3a-5b. 以a、b的坐标表示式代入，即得 =2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10), =3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16) 例3已知两点A(,h,)和B(格，，)以及实数≠-1，在直线AB上求一点M使 AM=元MB 解 由于AM=OM-OA,MB=OB-OM, 因此 OM-OA=A(OB-OM). 从而 OM=-(04+10B) 1+元 .=(西+，+，+)， 1+元’1+ 1+元 这就是点M的坐标 另解 设所求点为M(xgz),则AM=(x-x,y-,z-2), MB=(x2-x,为2-y,22-z).依题意有AM=MB,即 (x-M,-h,2-)=元（题-术-只2-2） 6
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 (x2）-(M,h,a)=1(题，2)-九(x52）, 化八小中2+++ x=+,y=+业，+2 1+元 1+入 1+元 点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点，其坐标为 ,y=”,空 2 2 五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量=(xyz),作OM=r,则 r=OM=OP+00+OR, 按勾股定理可得 IrHHOMEOPP+IOOP+ORP2, 的 OP=xi,00=yj,OR=zk, 有 Iapl=1xl,lo0l=lyl,IaRl=1z, 于是得向量模的坐标表示式：√2+y2+22 设有点A(五，，)、B(,,),则 AB=OB-OA=(指，%，)-(M,h,2a)=(-i,-h,-a), 于是点A与点B间的距离为 |AB=A@=Vx2-x)+0y2-)+(2-2). 例4求证以M(4,3,1)、(7,1,2)、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角 形. 解因为M=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14, |1=(5-7)+(2-1)2+(3-2)2=6, |MM1=(5-4)+(2-3)+(3-1)2=6, 所以品%=M肠，即MM品为等腰三角形 例5在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解设所求的点为M(0,0,z）,依题意有M=B, 即 (0+4)2+(0-1)2+(2-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2 解之得z=号，所以，所求的点为M0,0 例6己知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与AB方向相同的单位向量e
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 解因为AB=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2), AB=V32+1P+(-2y2=V14, AB 所以 e= AB Va81-2. 2.方向角与方向余弦 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时，两个向量之间的不超过π的夹角称为向 量a与b的夹角，记作(a,b)或(b,a).如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可 以在0与π之间任意取值， 类似地，可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. 非零向量r与三条坐标轴的夹角必、B、y称为向量r的方向角 向量的方向余弦 设=(x水z),则 x=r cosa,y=r cosB,rcosy. cosa、cosB、cosy称为向量r的方向余弦. cosa=六，cosB=7,coy=月 从而 (coa.o.co) 上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e,,因此 cos a+cos B+cos'y=1. 例7设已知两点A(2,2,√2)和B(1,3,0),计算向量AB的模、方向余弦和方向角. 解 AB=(1-2,3-2,0-√2)=(-1,1，-√2)； A@=V-+1P+(-22-2 cosa--2 cs B=1,cosy= 2 a=，=号7= 3.向量在轴上的投影 设点0及单位向量e确定u轴. 任给向量E,作OM=r,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M(点M叫作点M在 u轴上的投影)，则向量OM称为向量r在u轴上的分向量.设OM=e,则数1称为向量 r在u轴上的投影，记作Prjr或(r)
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 按此定义，向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标a,a,a就是a在三条坐标轴上的投影， 即 a=Pr ja,a=Prj a,a=Prj a. 投影的性质： 性质1(a)=|a cos o(即Prja=|a cos o),其中p为向量与u轴的夹角； 性质2(a+b)=(a)+(b)。(即Prj(a+b)=Prja+Prjb); 性质3(a)=(a)。(即Prj(a)=Prja); 9