高等数学教案 第七章微分方程 第三节齐次方程 教学内容：齐次方程的定义与解法 教学目标：掌握齐次方程的定义与解法 教学重点：齐次方程的定义与解法 教学难点：齐次方程的定义与解法 教学方法：理论课与习题课相结合 作业：P3091-4 教学过程： 一、齐次方程的定义和解法： （一)定义1，如果一阶微分方程少=f(x,y)中的函数f(x,y)可以写成二的函 d 则称之为齐次方程。如： (y-y2)d-(x2-2xy)=0是齐次方程，因为整理得到： 卫-心)2 f(x,y)=xx 1-2心) （二）解法.分析：在齐次方程 中，引进v=上，则y=y,从而有 d dy=v+x 少，代入原方程得v+ d =(v),即：x dv =(v)-v,方程就化为了可分 dx x dx x 离变量的方程，通过积分可以得到通解。 步骤 第一步：变量替换，设v=上，代入原方程，化为关于未知函数v的可分离变量方程： 第二步：用分离变量法求出未知函数v: 第三步：用上替换v,写出原方程的通解 (三)应用举例： 例1.求微分方程y=上+e的通解。 解：设(x)=上，则y=)+w'(,代入原方程，得：xw'=e',即：x dv=e, dx
高等数学教案 第七章微分方程 dx 分离变量，得：ev= 两边积分，得：-e=ln+C, 所以，原方程的通解为：n时=C+e。 例2.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面，它的形状由xOy坐标面上的一条曲线L绕x 轴旋转而成，按聚光性能的要求，在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，经它反 射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程。 解：将光源所在点取作坐标原点，并设 由光的反射定雀：人射角上设射角 可得 ∠OMM=∠OAM=a 从而 AO=OM 而A0=AP-OP=ycota-x=y -x 于是行污+-x=+ 于是方程化为 (齐次方程) 令v= ,则x=yy, =v+y dv 代入上式， dy y 得 y=+ dy 分离变量，得一 h 1+v2 y 积分得h(v++)=lhy-hC或++r=岩 由P=2+1得若2”1 C2 C 以m代入试得广=2Cx+ 故反射镜面为旋转抛物面。 2
高等数学教案 第七章微分方程 *二、可化为齐次方程的方程 dy ax+by+c (c2+c2≠0) dx ax+by+c 1,当≠么时，作变换x=X+h,y=y+k,(h,k为待定常数)，则k=dX,=W, a b 原方程化为 dy ax+bY+ah+bk+c dx ax+bY+a h+bk+c ah+bk+c=0 ,解出h,k ah+bk+c=0 dY_aX+bY (齐次方程) dx ax+bY 求出解后，将X=x一h,Y=y一k代入，即得原方程解。 2.当=么=元时，原方程可化为 a b dy ax+by+c dx (ax+by)+c 令v=a+by,则 dx =a+by dx d 4 =atb_v+c (可分离变量方程) Av+C 注：上述方法可适用于下述更一般的方程 少=fa+b+e),(c2+C2+0) d ax+by+c 例3.解方程(2x+y-4)k+(x+y-1)d少=0 (学生自己练习) 三、本节小结： 本节我们主要学习了齐次方程和全微分方程的定义和解法