高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 第三节曲面及其方程 教学内容：曲面方程的概念，几种常见曲面的方程及简单几何性质 教学目标：介绍各种常用的曲面，为学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用 的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。 教学重点：几种常见曲面的方程及其图形 教学难点：旋转曲面 教学方法：多媒体教学同时结合一些实物.把抽象的几何图形具体化. 作业：P302,4,7,8(1),(5),11 教学过程： 一、曲面方程的概念 在日常生活中，我们经常会遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面及其锥 面等等。 像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面都 可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程 F(x,5z)=0 有下述关系 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,Z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(xyz)=0, 那么，方程F(xyz)=0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(xy)=0的图形 常见的曲面的方程 例1建立球心在点%（而，，z)、半径为R的球面的方程. 解设xy)是球面上的任一点，那么 场M=R 物 Vx-x)2+0y-y0)2+(z-20)2=R, 或 (x-)+()2+(z-)2=R. 这就是球面上的点的坐标所满足的方程.而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.所以 (x-0)2+(%)2+(2-)2= 就是球心在点M(和，，)、半径为R的球面的方程 特殊地，球心在原点O(0,0,0)、半径为R的球面的方程为 x+y+Z=R. 例2设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程. 解由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹.设机xyz)为所
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 求平面上的任一点，则有 AM1=BM1, 即 Vx-102+0y-22+2-3)2=Vx-22+0y+102+(2-4)2. 等式两边平方，然后化简得 2K-642Z-7=0 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程，而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方 程，所以这个方程就是所求平面的方程. 研究曲面的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的儿何轨迹时，建立这曲面的方程； (2)已知坐标太、y和z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状. 例3方程X+y+z2-2x+4=0表示怎样的曲面？ 解通过配方，原方程可以改写成 (x-1)2+(42)2+z2=5. 这是一个球面方程，球心在点M(1,-2,0)、半径为R=√5 一般地，设有三元二次方程 Ax+Ay+Az+Dx+Ey+Fz+G-O, 这个方程的特点是缺xy,yz,zx各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方就可以 化成方程 (-x)2+(-6)2+(2-)=R. 的形式，它的图形就是一个球面. 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直 线叫做旋转曲面的轴， 设在y0z坐标面上有一已知曲线C它的方程为 f(gz）=0, 把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.它的方程可以求得如下 设(x,5)为曲面上任一点它是曲线C上点M(0,,)绕z轴旋转而得到的因 此有如下关系等式 f04,)=0 z=31,14卡Vx2+y2, 从而得f仕√2+y2,)=0, 这就是所求旋转曲面的方程。 在曲线C的方程f(gz)=0中将y改成±√x2+y2,便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 面的方程f仕√x2+,)=0 同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f0y,±√x2+z2)=0. 例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的 交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角α(0<a<乏)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在 坐标原点O旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面的方程。 解在Oz坐标面内，直线L的方程为 2=心ota, 将方程2=心ota中的y改成±√x2+y2,就得到所要求的圆锥面的方程 z=±√x2+y2cota, 或 2=a(+y), 其中=cotu. 例5 将心坐标面上的双曲线号」分别绕x轴和z销旋转一周，求所生成的 旋转曲面的方程. 解绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为 x2 y2+22 a? c2 =1; 绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为 x2+y2 22 a2 1. 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面. 三、柱面 例6方程+=表示怎样的曲面？ 解方程+=R在xOy面上表示圆心在原点Q半径为R的圆.在空间直角坐标系中， 这方程不含竖坐标名，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满 足这方程，那么这些点就在这曲面上.也就是说，过xOy面上的圆+y=R,且平行于z轴的 直线一定在X+y=R表示的曲面上.所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线1沿xOy 面上的圆+=R移动而形成的.这曲面叫做圆柱面，xO加面上的圆+=R叫做它的准线， 这平行于z轴的直线1叫做它的母线， 柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做 柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线， 3
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 上面我们看到，不含z的方程+=R在空间直角坐标系中表示圆柱面，它的母线平行 于z轴，它的准线是xOy面上的圆X+=R 一般地，只含x、y而缺z的方程F(x)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴 的柱面，其准线是xOy面上的曲线CF(x)=O. 例如，方程=2x表示母线平行 于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线y=2x该柱面叫做抛物柱面， 又如，方程x-0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面的直线x-=0,所以它 是过z轴的平面. 类似地，只含x、z而缺y的方程G(xz)=0和只含八、z而缺x的方程H(y,z)=0分别 表示母线平行于y轴和x轴的柱面 例如，方程x-2=0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是zOx面上的直线x-2=0.所 以它是过y轴的平面 四、二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二 次曲面.把平面叫做一次曲面. 怎样了解三元方程F(x人，z）=0所表示的曲面的形状呢方法之一是用坐标面和平行 于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法 研究曲面的另一种方程是伸缩变形法： 设S是一个曲面，其方程为F(x,y2)=0,S'是将曲面S沿x轴方向伸缩1倍所得的曲 面， 显然，若(x乃动eS则(x5)∈S;若(x乃》eS,则(x八，)eS. 因此，对于任意的xy动∈S,有F号x)=0,即F号xy)=0是曲面S的方程 例如，把圆锥面x2+y2=2z2沿y轴方向伸缩2倍，所得曲面的方程为 +(号P=a2,即兰+ a2 (1)椭圆锥面 由方程+2 京+京=子所表示的曲面称为椭圆锥面。 圆锥曲面在y轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面+少=2沿y轴方向伸缩倍，所得曲面称为椭圆锥面兰+ a2+62 =z2. a2 以垂直于z轴的平面=t截此曲面，当t=0时得一点(0,0,0)；当t≠0时，得平面t
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 上的椭圆 x2y2 (a26l. 当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t从大到小并变为0时，这族椭圆从 大到小并缩为一点.综合上述讨论，可得椭圆锥面的形状如图. (2)椭球面 的方程二+之+二所表示的曲面称为椭球面动 球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面. 把了沿：辅方向伸缩后岱，得旋转椭球面”+号山，再沿少辅方向伸缩 a2 名位即得横球面兰长+1. (3)单叶双曲面 由方程号+茶音所表示的曲面称为单叶双面 把z0x面上的双曲线号-号 总三引绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面巴+少足 a2三l;再沿y 轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面号+子 (4)双叶双曲面 由方程-号一多1所表示的曲面称为双叶双曲面。 把z0m面上的双曲线号_ 后石1绕x轴旋转，得旋转双叶双曲面号子+少 云c2之=；再沿 轴方向伸缩么倍，即得双叶双曲面号上 a bc2=1. (⑤)椭圆抛物面 由方程x2y2 z所表示的曲面称为椭圆抛物面. a2 b2 把z0r面上的抛物线 言=：绕2轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面土少-：，再沿y轴 a2 方向伸缩名倍，所得曲面叫做椭圆抛物面子+广 a2t62 (6)双曲抛物面. 由方程2 a尔=z所表示的曲面称为双曲抛物面。 双曲抛物面又称马鞍面
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 用平面=t截此曲面，所得截痕I为平面=t上的抛物线 62=2 此抛物线开口朝下，其项点坐标为G,0,号).当t变化时，1的形状不变，位置只作平移，而 a 1的项点的轨迹L为平面=0上的抛物线 因此，以1为母线，L为准线，母线1的项点在准线L上滑动，且母线作平行移动，这样得到 的曲面便是双曲抛物面. 还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面： 器长1 a京l,x2=ay, 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面 6
