高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 第二节数量积 向量积 教学内容：向量的数量积和向量积 教学目标：弄清数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空 间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：向量的数量积和向量积的定义和计算 教学难点：向量的向量积的定义与计算 教学方法：讲授法 作业：P223,4,6,7,9(1):(2),10,12 教学过程： 一、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M移动到点M.以s表示位移M,M,.由物理学知 道，力F所作的功为 W=Fs cose 其中0为F与s的夹角 1、数量积：对于两个向量a和b,它们的模l、M及它们的夹角9的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积，记作ab,即 ab=lab cose. 2、数量积与投影： 由于bcos8bcos(a,b),当a≠0时，bcos(a,b)是向量b在向量a的方向上的投影，于 是ab=la Prjb. 同理，当b≠0时，ab=bPj6a. 3、数量积的性质： (1)aa=lal2. (2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则aLb:反之，如果aLb,则ab=0. 如果认为零向量与任何向量都垂直，则aLb一b=0. 4、数量积的运算律： (1)交换律：ab=ba (2)分配律：(a+b)c=ac+b-c. (3)(八ab=a(.b)=(ab),(a(ub)=u(ab),入、μ为数 证明：分配律(a+b)c=ac+b-c 因为当c=0时，上式显然成立； 当c≠0时，有
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 (a+b)-c=cPrje(a+b) =c(Pria+Pri b) =cPrja+lcPrjb =ac+b.c. 例1试用向量证明三角形的余弦定理 证设在△ABC中，∠BCA=0,BC=a,CA=b,AB=C, 要证 c2=a2+b2-2 a b cos 0. 记CB=4,CA=b,AB=c,则有 c=a-b, 从而lc=c·c-(a-b)(a-b)=a·a+b.b-2a·b=a'+b-2 a bcost(a,b), 即 c2=a2+b2-2 a b cos 0. 5、数量积的坐标表示： 设a=(a,a,a:,b(b,b,b.)方则 a-b=ab:+a by+ab:. 提示：按数量积的运算规律可得 ab=(axi+avj+azk)(bxi+bvj+b2k) =ax bxii+ax byij+ax bzi-k +abji+ay bvjj+ab2广k +a:bxki+a:bykj+a:bzkk ax bx+ay by a:bz 6、两向量夹角的余弦的坐标表示： 设C=(a,^b),则当a≠0、b≠0时，有 cos0=ab ab:+a b,+ab. lall atajta 提示：ab=a bcose 例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向量a与b的夹角. a={1,1,05,b={1,0,1} 因为 ab=1×1+1×0+0x1=1, |ahV2+1P+02=√2， bfV12+02+12=√互. 2
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 所以 Cos∠AMB=ab- 1ab1√2√22 从而 ∠AMB=号 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量)加.设n为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的 质量P(液体的密度为P). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为，的斜柱体。这柱体的 斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角B,所以这柱体的高为vcos8,体积为 Av cos 0=A v'n. 从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为 P=pAv 'n. 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩： 设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与OP的夹角为0. 由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 MHOPFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以不超过的角 转向F来确定的. 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角 c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b米确定。 那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作axb,即 c axb. 根据向量积的定义，力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OPxF. 向量积的性质： (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之，如果al/h,则axb=0. 如果认为零向量与任何向量都平行，则ab一axb=0. 数量积的运算律： (1)交换律a×b=-bxa; (2)分配律：(a+b)xc=a×c+b×c (3)(0a)×b=ax()b)=(axb)(八为数). 3
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 数量积的坐标表示：设a=a,i+aj+a,k,b=bxi+bj+bzk.按向量积的运算规律可得 axb=(axi+avj+azk)x (bxi+byj+bzk) ax by ixi+ax by ixj+ax bz ixk tay bxjxi+ay byjxj+ay bzjxk +a:bx kxi+az by kxj+a:b:kxk 由于ixi=jx对i=kxk=0,ix对=k,j×k=i,k×i=j,所以 axb=ay b:-az by)i+a:bx-ax b2)j+ax by-ay by)k. 为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 i方k axb=as ay a:=abirabxj+ab,k-ab k-a b-j-abi bs by b =ay b=-az by)i+(a:bx-ax b2)j+(ax by-ay bx)k.. 例4设=(2,1，-1)，b=(1,-1,2),计算a×b. k 解 -2i-j-2k-k-4j-i=i-5j-3k. 1-1 2 例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC 的面积， 解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积 Se@Csn2-号x4C 由于AB=(2,2,2),AC=(1,2,4),因此 i j k AB×AC=222=4-6+2k 124 于是 SBc=引4i-6j+2k2V4+-6+22=14 例6设刚体以等角速度o绕/轴旋转，计算刚体上一点M的线速度. 解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速 度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住1轴，当右手的四个手指的转向与刚体的 旋转方向一致时，大姆指的指向就是的方向. 设点M到旋转轴1的距离为a,再在1轴上任取一点O作向量r=OM,并以0表示o与 r的夹角，那么 a=r sine. 设线速度为”，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，v的大小为 v=aa=a r sine
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 v的方向垂直于通过M点与I轴的平面，即v垂直于o与r,又v的指向是使o、r、v符合右手 规则.因此有 axr 5