高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 第六节空间直线及其方程 教学内容：直线方程的概念及其求法，线线，面面之间的相互关系 教学目标：1.会求空间直线的方程： 2.会求两直线的夹角 教学重点：1.直线方程： 2.直线与平面的综合题 教学难点：1.直线的几种表达式： 2.直线与平面的综合题 教学方法：讲授法 作业：P483,4,5,7,9 教学过程： 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面口和亚的交线. 如果两个相交平面L和正的方程分别为A+B件G+D=O和Ax+B件G+D=O,那么直 线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组 Ax+By+Cz+D-0 (1) Ax+B2y+C2z+D2-0 反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面☑和压上，所以它的坐标不 满足方程组(1).因此，直线L可以用方程组(1)来表示.方程组(1)叫做空间直线的一般方 程 设直线L是平面Ⅱ与平面亚的交线平面的方程分别为A+B件Gz+D=0和 Ax种B件C+D=0,那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上当且仅当它的坐 标同时满足这两个平面方程即满足方程组 Ax+B Y+Cz+D-0 A+B24C22+D2-01 因此，直线L可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间直线的一般方程. 通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们 的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线. 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的 方向向量.容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量， 确定直线的条件 当直线L上一点M(,,)和它的一方向向量s=(m2,D) 为已知时，直线L的位置就完全确定了
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 直线方程的确定 己知直线L通过点M(,,) 且直线的方向向量为 s=(mn,),求直线L的方程 设M(x,g)在直线L上的任一点，那么 (x-而，-，2-2)/1s, 从而有 术-0=y-0-2-0 m n p 这就是直线L的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程， 注：当mn,p中有一个为零，例如=0，而n0时，这方程组应理解为 X=X0 y-0_2-20; n 当m几，D中有两个为零，例如作=0，而0时，这方程组应理解为 Jx-xo=0 y-%=0 直线的任一方向向量s的坐标mn、p叫做这直线的一组方向数，而向量s的方向余弦 叫做该直线的方向余弦 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 设-=y-0=-0=1 得方程组 m n p x=xo+mt y=Yo+nt z=2o0+p1 此方程组就是直线的参数方程 例1用对称式方程及参数方程表示直线+少+1 2x-y+3z=4 解先求直线上的一点.取=1，有 y+2=-2 -y+3z=2 解此方程组，得=-2,20，即(1，-2,0)就是直线上的一点 再求这直线的方向向量5.以平面+件2-1和2x-件32=4的法线向量的向量积作为直 线的方向向量s: s(1++)×(2i-+3k) 4红3k 因此，所给直线的对称式方程为 2
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 x-1_y+2z 4-1-3 令母贤言 得所给直线的参数方程为 x=1+4t y=-2-t z=-3t [当x1时，有 +3z2，此方程组的解为-2,0 y+z=-2 i j k s=(i+j+k)×(2i-j+3k 11 Ai-j-3k 2-13 令-号1，有=1462-61.] 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角 设直线L和L的方向向量分别为s=(m,m,n)和s=(皿，，p),那么L1和的夹角 就是(s,s2)和（一s,s2)=π-(s,s2)两者中的锐角，因此cos=cos(s,s2川.根据两向量的夹 角的余弦公式，直线和2的夹角可由 cosp=cos(s1,s2川= mm2+nn2+pip2 √m2+n+p2Vm+n+p 来确定。 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论 设有两直线私-4=-九=-人-五=y-业=-五 则 mm p m2 n2 P2 LLL→m+n+Dp=0 LL台m=h-2 m2 n2 P2 例2求直线人：4牛空和：号受号的夹角 1-41 解两直线的方向向量分别为5=(1，-4,1)和2=(2，-2，-1).设两直线的夹角 为，则 c0S0= 1x2+-4)x-2)+1×(-1-1-V2 V12+(-42+12V22+(-2}2+(-102V22 所以0=晋 3
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹 角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为受 设直线的方向向量s二(mn,),平面的法线向量为=(A,BO,直线与平面的夹角为 ,那么p-,m,因此sincos(s,.按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 sin=- Am+Bn+Cp A2+B2+C2Vm2+n2+p2 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平 面垂直相当于 A_B_C m n p 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直， 所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+Bn+CD=0 设直线L的方向向量为(mn,p),平面的法线向量为(A,BO,则 台4-B-C m n p LI 台AHB+C=O. 例3求过点(1，-2,4)且与平面2x-3件z-4-0垂直的直线的方程。 解 平面的法线向量(2，-3,1)可以作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线 的方程为 x-1-y+2_2-4 2 -31 五、杂例 例4 求与两平面x-42=3和2x-52=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程. 解 平面x-43和2x-y521的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s, 因为s=(i-4k)×(2i-j-5k) =-(4i+3i+k). 2-1-5 所以所求直线的方程为 x+3_y-2_z-5 43=1 例5 求直线-学片4与平面2m6-0的交点。 解所给直线的参数方程为
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 =2+t,=3+t,2=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程，得=-1.将=1代入直线的参数方程，得所求交点的坐标为 =1,=2,2=2. 例6求过点(2,1,3)且与直线+1=y一=二垂直相交的直线的方程 3=2= 解过点21,3)与直线号号号垂直的平面为 3(x-2)+2(1)-(z-3)=0,即3x+2y”2=5 直线号分号与平面325的交点坐标为弓，号，马》。 3 以点(2,1,3)为起点，以点号马，-)为终点的向量为 月-29-1马-)=2-10， 所求直线的方程为 x-2=y-1=3-3 2-14 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角 设直线L和的方向向量分别为S=(m,nm,D)和s=(匹，，p),那么L和的夹角 就是(s,s2)和(-s,s2)=π-(s,s2)两者中的锐角，因此cos p=cos(s,2.根据两向量的夹 角的余弦公式，直线L和2的夹角可由 cos =cos(s,s2引= mm+mn+pip2 m+m+pmn+pz 来确定 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论 设有两直线b-x=y-九-=二1一五=y-业=3 则 m n p m2 n2 P2 LLL台mm+nh+pP=0 L/Lm=乃=凸 m2 n2 P2 例2 求直线：中4中空和山：号号的夹角， 1-41 解两直线的方向向量分别为5=(1，-4,1)和s=(2,-2,-1).设两直线的夹角
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 为p,则 COS=- 1×2+(-4)×(-2)+1×(-11=1=V2 12+(-42+12.V22+(-22+(-102√22 所以p=平 4 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹 角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为交 设直线的方向向量s=(m,),平面的法线向量为=(A,B),直线与平面的夹角为p, 那么p号-（心，m训，因此sincos(s,nm训.按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 Am+Bn+Cp sin=B2C2m+n+p 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面 垂直相当于 A_B_C m n p 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直， 所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+-Bn+CD-0 设直线L的方向向量为(mn,),平面Π的法线向量为(ABO,则 LΠ÷4=B_C m n p L/Π÷AHB+Cp=0. 例3 求过点(1，-2,4)且与平面2x-34z-4=0垂直的直线的方程. 解平面的法线向量(2，-3,1)可以作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为 x-1=y+2-2-4 2-31 五、杂例 例4求与两平面x-42=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程. 解平面x-4=3和2xy-5=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s, ii k 因为s=(位-4k)×(2i-j 0-4 =-(4i+3j+k), 2-1-5 所以所求直线的方程为 6
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 x+3_y-2_z-5 43 1 例5求直线=2=y-3=二4与平面2种42-6=0的交点. 112 解所给直线的参数方程为 =2+t,=3+t,2=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2)-6=0. 解上列方程，得t=-1.将仁-1代入直线的参数方程，得所求交点的坐标为 =1,=2,2=2 例6 求过点么，》且与直线兮号号垂直相交的直线的方程 解 过点(2,1,3)与直线牛=一1-三垂直的平面为 32-1 3(x-2)+2(-1)-(2-3)=0,即3x+2y-2=5 直线生="气二与平面3x+25的交点坐标为弓号，-》， 32-1 以点亿，13)为起点，以点（弓，号，-为终点的向量为 居-29-1多)=-2-140 所求直线的方程为 x-2=y-1=2-3 2-14 平面束 设直线L的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0 4x+B2y+C2z+D2=0 其中系数A、B、G与压、B、G不成比例.考虑三元一次方程 Ax+B件CG2+D+九(Ax+B+C2+D)=0, 即 (A+入A)x+(B+元B)件(CG+2C)z+D0+D=0, 其中九为任意常数.因为系数A、B、G与4、B、G不成比例，所以对于任何一个九值，上 述方程的系数不全为零，从而它表示一个平面.对于不同入值，所对应的平面也不同，而且 这些平面都通过直线L,也就是说，这个方程表示通过直线L的一族平面，另一方面，任何 通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中 通过定直线的所有平面的全体称为平面束. 方程A+B件G+D+入(A+B4Gz+D)=0就是通过直线L的平面束方程
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 例7 未直线0在平面20上的技影直线的方程 解 设过直线x+”2一1=0的平面束的方程为 x-y+z+1=0 (x+公1)+1(x-4241)=0, 即 (1+元)x+(1-2)4(-1+2)2+(-1+)=0, 其中为待定的常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 (1+元)1+(1-2)1+(-1+)-1=0， 即 九=-1. 将2=-1代入平面束方程得投影平面的方程为2-2z-20, 即 -2-1=0. 所以投影直线的方程为 y-z-1=0 [x+y+2=0
