高等数学教案 第七章微分方程 第九节欧拉方程 教学内容：欧拉方程的形式与解法 教学目标：掌握欧拉方程的形式与解法 教学重点：欧拉方程的形式与解法 教学难点：欧拉方程的形式与解法 教学方法：讲授法 作业：P3492:6:8 教学过程： 一、欧拉方程 引入：变系数的线性微分方程一般来说都是不好解的，但是有些特殊的变系数的微分方 程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中一种。 定义：形如x”ym+p,x”一y-+…+p-y+Pny=f(x)(1)的方程（其中p1,P2…Pn 为常数)，叫欧拉方程。 做变换 x=e或1=h,将自变量x换成t,我们就有少-少.d业=I少 dx dt dx x dt =少，- d2x2（dh2- +2 dt dt 如果采用记号D表示对t求导的运算￠，那么上述计算结果可以写成 dt x=Dy.xy=d'y_dd d ddi=y=(D-D)y=D(D-Dy =（ -3+=D-n+20p=XD-XD-2y x'y=dy-3dy dt 般地，有xy)=D(D-1).…(D-k-1)y。把它代入欧拉方程(1)便得到一个以t 为自变量的常系数线性微分方程。在求出此方程的解后，把t换成lx,即得到原方程的解。 例1.求欧拉方程x3y"+x2y"4xy'=3x2的通解。 解：作变化x=e'或t=nx,原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e2,即D3y-2D2y-3Dy=3e2',或 y-2-3血 =3e21… di-2dy 方程(2)所对应的齐次方程为 33 =0…(3) dt
高等数学教案 第七章微分方程 其特征方程为：r3-2r2-3r=0,它有三个根：片=0,5=-1,5=3. 于是方程(3)的通解为Y=C,+C,e+C,e'=C+9+Cx, 特解的形式为y广=be2”=bx2代入原方程求得b=-】 >、即=一x2 于是所给欧拉方程的通解为：Y=C,+C+C,x-x2。 2 说明：从上面的例题可以看出，求解欧拉方程的重点是作变量替换。 二、微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时，我们就要寻求其他的解法。常用的有 幂级数解法和数值解法。这里我们学习其中的第一种。 （一)求一阶微分方程少=fx,)满足初始条件=八，的特解，其中函数f代c) dx 是(x-x)0y-%)的多项式：fx)=a0+4x-)+40-%)+.+amx-七)'0y-%)"。 解法：①我们可以先设所求特解可展成为X一x。的幂级数： y=%十4-x)+42(K-x)+.+a,-x)”+…(2),其中a1,a2,…am.…是待定的系数。 ②把(2)式代入一阶微分方程少=fx,少，比较恒等式两端(：-)的同次幂的系数， d 就可定出常数a,a2,口m,以这些常数为系数的级数(2)在收敛区间内就是微分方程 少=f(化，)满足初始条件：，=的特解。 d 例1.求方程少=x+y2满足小=0的特解。 dx 解：此时x=%=0,故设y=4x+2++ax”+。且=q+24x++nqX+将其代 入原方程，得 a+2☑，x+3a,2+.+nqx+=x+(a-x+ax2++ax”+.}, 由此比较恒等式两端x同次幂的系数，得a=0,a=)4=0,a=0,a=20…, 1 1 1 于是所求解级数得幂级数展开式得开始儿项为：y=。x2+。x+。 2 20 (二)求二阶齐次线性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0….(3) 这里用幂级数求解得问题我们先叙述一个定理： 定理：如果方程(3)中得系数P(x)与Q(x)可在-R<x<R内展开为X的幂级数， 2
高等数学教案 第七章微分方程 那么在-Rna,x: 由初始条件yo=1,得a,=1,于是所求方程的幂级数解y及y'的形式成为： y=xd( =2 y=l+2a,+3a,2++nqx+=1+na,…2:对级数2逐项求导， 得"-24+3-24，r+t0-ax2+=2n0n-10a,x-2(g) =2 把(2)(3)代入所给方程，并按x的升幂集项。得 24+3·24x+(43a-).+H0+2)1+)42a]cn”+..=0,又因为幂级数(*)是方程的 解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，从而有： 1 a2=0,a3=0,a4 4.3a=0,a6=0 一般的a20m+2)n+0 a-（n=3,4,5)从递推公式得出：am=am=0, am13m+13m7.64-3m=l2)于是所求的特解为： y=x+ 十… 4.37.64.3 十…十 (3m+1)3m.7.6·4,3 例3.求解勒让德方程(1一x2)y"-2xy"+n(n+1)y=0,其中n为常数。 (学生自己完成)。 三、本节小结： 本节我们主要学习了欧拉方程和微分方程的幂级数解法，重在一些细节的处理。 3