高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第五节隐函数的求导公式 教学内容：由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式。 教学目标：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。 教学难点：求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学方法：新课讲授法 作 业：p891,2,3,4,5,6. 教学过程： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们己经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 F(x,y)=0 (1) 求它所确定的隐函数的方法.现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式： 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x。,y。)的某一邻域内具有连续的偏导数， 且F(xo,yo)=0 F,(x。,yo)≠0，则方程F(x,y)=0在点(x。,y,)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续 且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y。=f(x。),并有 F (2) dx 公式(2)就是隐函数的求导公式. 仅就公式(2)作如下推导 将方程1)所确定的函数y=f(x)代入，得恒等式 F(x,f(x)=0, 其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒 等，即得 1
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 OF oF dy=0 Ox dy dx 由于F连续，且F,(x。,y。)≠0，所以存在(x。,y)的一个邻域，在这个邻域内F,≠0， 于是得 dx F 如果F(x,y)的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再 一次求导，即得 E dx ox F.ay F.dox FoFy-EEs EEy-EnE F F F FE:-2E8EEy+ExE2 F 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当x=0时，y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值. 解设F(x,y)=x2+y2-1,则F=2x,F,=2y,F(0,1)=0,F(0,1)=2≠0.因此 由定理1可知，方程x2+y2一1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当x=0时，y=1的隐函数y=f(x). dy=0: dx F,y =-广+x-1 少3 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元方程 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 F(x,y,z)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。 隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x。,yo,z。)的某一邻域内具有连续的偏导 数，且F(x,o,2o)=0,F(x0,yo,20)≠0，则方程F(化，y,2)=0在点(x,y,zo)的某 一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件 20=f(x0,yo)，并有 (4) &x F.dy F. 与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导 由于 F(x,y,f(x,y)=0, 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得 E+R0F+比a· 因为F,连续，且F(xo,yo,z。)≠0，所以存在点(xo,yo,2o)的一个邻域，在这个邻域内F ≠0，于是得 8z F:dz F ax F.oy F. 伽设r+2+2-4z=0,求0 . 解设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则F=2x,F=2z-4.应用公式(4)，得 0x2-z 再一次对x求偏导数，得 62z (2-z)+x20 Ox -+2 (2-z2+x2 (2-z)2 (2-z)2 (2-z)3 二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广.我们不仅增加方程中变量的个数.考虑 3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 方程组 F(x,y,4,)=0, (5) G(x,y,4,z)=0. 在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组（⑤）就有可能确定两个二元函 数.在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组（⑤）所确定的两个二元函 数的存在，以及它们的性质 隐函数存在定理3设函数F(x,y,,)、G(x,y,4,)在点P(x,yo,4o,V。)的某一邻 域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x,y,,Vo)=0,G(xo,yo,4,)=0,且偏 导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)式）： aF aF (F,G) Cu Ov d(u,v) OG OG 在点P(xo,yo,4o,V)不等于零，则方程组F(x,y,4,)=0，G(x,y,4,)=0在点 (xo,yo,4o,V)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 4=u(x,y),v=v(x,y),它满足条件4=u(x,yo),V。=v(x,yo),并有 F.F. d 1 (F,G) G,G &x Jd(x,v) F.F G F F Ov =_10(F,G) G。 G (6) Ox J8(u,x) F。F G G ou 1 (F,G) G, G a Ja(y,v) F G。 6
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 F, Ov 1∂(F,G) G Oy J d(u,y) E F G. G 例3设w-w=0,w+w=1,求，和 解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解.下面我们利用后 一种方法来做。 将所给方程的两边对x求导并移项，得 Cv Ox Ox Cu v +x 8x Ox x2+y2≠0的条件下， -W -V -l -V xu+yv Ov V-v yu-XV x2+y2 x-y x2+y2 y x y x 将所给方程的两边对y求导，用同样方法在J=x2+y2≠0的条件下可得 Ou xv-yu Ov xu+yv a x2+y2 Oy x2+y2 小结与思考： 本节根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、 3,使我们能够用隐函数求导公式方法计算由一个方程或方程组确定的隐函数的导数