高等数学教案 第十二章无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法 教学内容:正项级数收敛性的比较判别法: P级数的收敛与发散的条件: 交错级数的莱布尼茨判别法: 任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 教学目标:掌握P级数的收敛与发散的条件:掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判 别法,会用根值判别法;掌握交错级数的莱布尼茨判别法:了解任意项级数绝对收敛与条 件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系 教学重点:正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别;交错级数的莱布尼茨 判别法 教学难点:比较判别法的极限形式;交错级数的莱布尼茨判别法:任意项级数的绝对收敛 与条件收敛 教学方法:讲授法 作业:P2681,2,4,5 教学过程: 一、正项级数及其审敛法 正项级数:各项都是正数或零的级数称为正项级数, 定理1正项级数∑4,收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界 n=l 定理2比较审敛法)设∑4n和∑yn都是正项级数,且u.≤y,(n=1,2,).若级数 = 1= ,收敛则领数24,收敛:反之,若级数2山,发散侧级数2,发散 0 =1 n=1 n=1 n=1 证设级数o∑y,收敛于和,则级数∑山n的部分和 n=】 n=1 Sn=41+l2+…4n≤y,+y2+…+yn≤o(n=1,2,) 0 即部分和数列{s}有界,由定理1知级数∑4n收敛. n=1 反之,设级数2,发散,则级数∑,必发散因为若级数 n=1 n=1 乞,收敛,由上已证明的结论,将有级数24,也收敛,与假设矛盾。 打兰
高等数学教案 第十二章无穷级数 推论设2,和2,都是正项级数,如果级数y,收敛,且存在自然数N,使当 n=1 7= = n≥N时有u,≤kw,60成立,则级数24,收敛:如果级数2,发散,且当n2N时有 =1 n=1 u≥kwk>0)成立,则级数∑4n发散. n=1 例1讨论p-级数 n=i nP 的收敛性,其中常数p>0. 解设s1.这时≥,而调和级数上发散,由比较审敛法知,当p1.此时有 六-sn1a2 对打歌三。-共能分有 (n+)p 因为,=iml-a1 (n+10阿]=l. 所以强业。山收意从可限新北按半微法新论1可克摄货变上 当p>1时收敛, 综上所述,P-级数2当p1时收敛、当S1时发散 n=1 hp 例2证明级数 1 是发散的 =1√(n+l) 1 1 证因为 n(n+1)/(n+1)2 n+1' 而级数1=11 mn+123 …十1十…是发散的, n+1
高等数学教案 第十二章无穷级数 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的, 定理3(比较审敛法的极限形式) 设立4,和2,都是正项级数 n=1 h=1 (1)如果lim4=l0sk+o,且级数∑yn收敛,则级数∑n收敛: 0 n→oyn n=1 n=1 2如果lim=1>0或im=+o,且级数2yn发散,则级数∑n发散。 n-→oVn n-→mVn 7= 7=1 例3判别级数∑sim上的收敛性. n=1 n 解因为m士 n=山,而级数1发散 1n 根据比较审敛法的极限形式,级数∑sm上发散 i=1 n 定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设∑4,为正项级数,如果 n=1 lim n=p, n→0t4n 则当px1时级数收敛;当心1(或1im4l=D)时级数发散;当p=1时级数可能收敛也 n→04n 可能发散, 例4证明级数1++1+1 +i1212.3+…+1-2,3…m-0 十· 是收敛的 解因为iml=lim 23…n-0=lim1=0<1, n→%4nn-→w12.3.…nnmn 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例5判别级数+3+:23+++…的收敛性 ×10102103 10n 解因为ml=im+!,10=imn+l=o, n-→04nn→010m+1n!n→010 根据比值审敛法可知所给级数发散 例6判别级数】 22 1 的收敛性
高等数学教案 第十二章无穷级数 解iml=lim (2n-02n=1. n→04mn-∞(2n+1)(2n+2) 这时1,比值审敛法失效,必须用其它方法来判别级数的收敛性。 因为 1 21(或1imn=+o)时级数发散;当仁1时级数可能收敛也 n-→0 可能发散 1 例8证明级数1+2+ 3+…+1 +·是收敛的 并估计以级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差. 解因为lim义4,=lim =lim1=0, n-→Vn" 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差为 lrn上 1 1 a+l-+0+2y*7+0n+3*s+… 1 1 1 n+)t0+1)n2+n+*s+…+ 1 n(n+1)" 例6判定级数22+二少的收敛性 白2n 解因为 m,=im22+(←y=分 7→0 H-→00L 所以,根据根值审敛法知所给级数收敛, 定理6 (极限审敛法) 设艺un为正项级数。 (1)如果1im4n=>0或1imn4n=+o),则级数∑4n发散; 7→00 n-→0 n=l
高等数学教案 第十二章无穷级数 2)如果p>1,而limn nPu=1(0≤10 月世 例如, ∑(--1是交错级数,但2(-1y-1l-COSHE不是交错级数。 7= 定理7(莱布尼茨定理) 如果交错级数∑(-I)-4n满足条件: n=1 (1)4n≥4n+1(n=1,2,3,…) 2m4。=0, 则级数收敛,且其和s≤u,其余项rn的绝对值Irn≤un+1 证:设前n项部分和为sn 由52n=(u1-u2+u3-ua+·+(u2n1-u2n,及 52m=U1-(u2-Ug)+(u4-Us)H··+(u2m-2-U2m-1-u2n 看出数列{52m}单调增加且有界(s2n<u1,所以收敛 设52n→s(n→00,则也有52n+1=52n+u2n+1→s(n→00,所以5n→5n→00).从而级数是收 敛的,且5n<u1 因为|rn=Un+1-Un+2+也是收敛的交错级数,所以|rn≤un+:
高等数学教案 第十二章无穷级数 例9证明级数∑(-1)1口收敛,并估计和及余项, n=l n 证这是一个交错级数.因为此级数满足 1、1 (1)4m= nn+l =41n=1,2,k(2)lim u=lim1=0, n-→0 n-→07 由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s=1,余项,S山1= n+l 三、绝对收敛与条件收敛: 若级数∑u,收敛,则称级数∑n绝对收敛;若级数24n收敛,而级数∑u,发散 =1 7=1 = =1 则称级∑4n条件收敛. =1 例10 级数(-y-1号是绝对收敛的,而级数∑(-1-11是条件收敛的。 n=1 h2 n=1 n 定理7如果级数∑,绝对收敛,则级数∑山,必定收敛。 n=1 n=1 值得注意的问题:如果级数以发散,我们不能断定级数2,也发散。但是,如果我们 0 n=1 n=1 用比值法或根值法判定级数 2M,发散则我们可以断定级数2山,必定发散这是因为, =1 n=1 o 此时u不趋向于零,从而u也不趋向于零,因此级数∑山n也是发散的. n= 例11判别级数2s血0的收敛性 -1n2 、解因为1Sn长。,而级数∑之是收敛的, n 所以级数2i血n0也收敛从而级数s血0绝对收敛 n=1 n2 n1n2 例1卫判别级数三-r2+分》”的收敛性 n=】 解邮,0+r,有mm+以>1, n→∞ 可知m4,0,因此级数-少2+}》y发放 =