高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第六节高斯公式，通量和散度 教学内容：高斯公式： 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 通量与散度 教学目标：会用高斯公式计算曲面， 了解通量与散度并会计算 教学重点： 教学难点：通量与散度 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、高斯公式 定理1设空间闭区域2是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,人z)、Q(x人，z)、 R(x,5)在2上具有一阶连续偏导数，则有 小装兴w-+Qa+, 國肥+2+M=(Pcosa+0cosB+Rcos7S 简要证明设2是一柱体，上边界曲面为Σ：2五(x,月，下边界曲面为Σ：a(x,), 侧面为柱面Σ，Σ，取下侧，Σ取上侧；∑取外侧. 根据三重积分的计算法，有 =[(RIx,y,z2(x,y)]-R[x,y,z(x,y)]}dxdy. D 另-方面，有川R(x,y2)dkd=-川Rx,ya(x,yk, jR(x,八，2)dd=j∬R[x,yz(xykd，∬R(x,y,z)d=0, 相加，得R(xy,zdkd=小Rx,y,(x,y叨-Rx,y,z(x,y]kd 所以 0=x
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 类地有∬保=PxXt,了 紧-0xh 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式 例1利用高斯公式计算曲面积分 fcr-ydk+0-2xddt,其中工为柱面+al 及平面2=0,2=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解这里P(r-)x=0,xy y -0,迟=0、 由高斯公式，有 (x-y)dxdy+(y-z)dyd -2)ddvdsin 0-2)pdpdai -f"dofdp f(psin0-2)d=- 例2计算曲面积分川(x2 cosa+-y2cosB+z2cosy)dS,其中Σ为锥面+=z介于平 面=0及=h(h>0)之间的部分的下侧，cosa、cosR、cosy是∑上点(x,5z)处的法向量 的方向余弦 解设Σ：为2=h(+y≤h)的上侧，则Σ与公1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭 区域为2，由高斯公式得 rosa+yosB+os5 =2Ⅱep+y+t=2ept 2<2 x2+v2≤h2 x2+v2≤h 提示： ∬dpr+k=0. 而 小6水x2cosa+y2cosf+cosyds=j∬z2as=小hdd=, x2+y2sh2 因此 (coscoc 例3设函数u(x,乃2)和v(x,y)在闭区域2上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 aw-架s-哈器+器器+爱2
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 其中Σ是闭区域2的整个边界曲面， 为函数v(x上)沿Σ的外法线方向的方向导数， 符号△=0+0+0 六++，称为拉普拉斯算子.这个公式叫做格林第一公式 证：因为方向导数=0业cosa+心cosB+型 On ax dv cosy, 其中cosa、cosB、cosy是∑在点(x乃z)处的外法线向量的方向余弦.于是曲面积分 f5=到cosa+o+告eps -抓u尝coa+会cosB+u2cos75 利用高斯公式，即得 a-u0+号+是u2hd ax' =-JuAvdxdvd+- 小陪器+容是急h恤， 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式， 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.连通区域的类型设有空间区域G, ·若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域； ·若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面， ·则称G为空间一维单连通域. 例如，球面所围区域，既是一维也是二维单连通区域； 环面所围区域，是二维但不是一维单连通区域： 立方体中挖去一个小球所成的区域是一维但不是二维单连通区域· 2.闭曲面积分为零的充要条件 定理2.设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导 数，∑为G内任一闭曲面，则 fpdydz+Qdzdx+Rdxdy-0 的充要条件是： aP++a迟=0，(x,y,z)eG Ox dy 0z 3
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 三、通量与散度 高斯公式的物理意义：将高斯公式 小g+器3h-Psa--oP+ReS 改写成 +器器ws 其中==osa+cosB+os%={cosa,cosB,cos是∑在点(xgz）处的单位法 向量 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域2的流体的总质量，左端可解释为分布在Ω内 的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.散度：设2的体积为，由高斯公式得 其左端表示2内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 令n耀时一点天海架器+器品s 上式左端称为v在点M的散度，记为div即 divv=OP00.OR Ox 0y Oz 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量 般地，设某向量场由A(xy)=P(x5z）)+Qxyz)升R(x乃Z)k 给出，其中P,QR具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向曲面，n是Σ上点(xy2)处 的单位法向量，则 川AdS叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量（或流量），而 P+巴+那叫做向量场A的散度，记作divA即divA=P+巴+迟 高斯公式另 形式Aw=到45，度Ah=到s, 其中Σ是闭区域2的边界曲面，而A=A=代osa+cosB4cosy 是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影