高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第七节斯托克斯公式环流量与旋度 教学内容：斯托克斯公式： 空间曲线积分与路径无关的条件： 环流量与旋度。 教学目标：会用斯托克斯公式计算曲面、曲线积分， 知道空间曲线积分与路径无关的条件及环流量与旋度 教学重点： 教学难点：环流量与旋度 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、斯托克斯公式 定理1.设光滑曲面∑的边界「是分段光滑曲线，∑的侧与厂的正向符合右手法则， P,Q,R在包含Σ在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 dzdx+ 0z 8x dxdy=fPdx+Ody+Rdz 注意：如果Σ是xOy面上的一块平面区域，则斯托克斯公式就是格林公式， 故格林公式 是斯托克斯公式的特例 dy az =qPdx+Ody+Rdz 为便于记忆，斯托克斯公式还可写作： dydz dzdx dxdy 0 ay 02 Pdx+Qdy+Rdz P Q R 或用第一类曲面积分表示： cos a cos B Cos y 8x 的 82 dS=dPdx+Qdy+Rdz P R 例1.利用斯托克斯公式计算积分， [zdx+xdy+ydz其中r为平面+y+z=1被三 坐标面所截三角形的整个边界，方向如图所示
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 解：记三角形域为Σ，取上侧， dydz dzdx dxdy dzdx+xdy+ydz 品 品 y -fIdydz+dzdx+dxdy-3fdxdy- 例2.厂为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线，从z轴正向看为顺时针，计算 I=dy2dx+xydy+xzdz. 解：设Σ为平面z=y上被Γ所围椭圆域，且取下侧，则其法线方向余弦 v2:cosy=-1 1 cosa=0,cosB= 利用斯托克斯公式得 cosa Cos B cOSy 0」 dS=- 1 [f(v-z)ds=0 P R 二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2.设G是空间一维单连通域. 函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数，则下列四个条件相互等价： Pdx+Ody+Rdz=0 ()对G内任一分段光滑闭曲线Γ，有 (2)对G内任一分段光滑曲线Γ， [Pdx+Qdy+Rdz 与路径无关 (③)在G内存在某一函数u,使du=Pdr+Qdy+Rdz (④)在G内处处有器=器，器=器，器=器 三、环流量与旋度 斯托克斯公式 儿(-器)dydz+(得-船)dzdx+(器-0)dxdy=fPdx+edy+Rdz 设曲面∑的法向量为n=(cosu,cosB,cosy) 曲线T的单位切向量为t=(Cos元，cos4,cosv)
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 则斯托克斯公式可写为 [膘-器cosa+(层-器cosB+(偎-)cos7]小as 令A=(P,Q,R),引进一个向量 k v =V×A=rotA P 9 R 于是得斯托克斯公式的向量形式： rotA.nds-44.rds 或J儿rotA),dS=fA,ds 定义：「Pdx+Ody+Rdz=Ads称为向量场A沿有向闭豳线厂的环流量 向量rotA称为向量场A的旋度. 旋度的力学意义： 设某刚体绕定轴1转动，角速度为@M为刚体上任一点， ⊙=(0,0，⊙)，r=(x,y,z) 点M的线速度为 i j k v=0Xr = 000 =(-0y,0x,0) x y i rotv= 是 品 是 =(0,0,20)=20 -@y Ox 0 例4. 求电场强度E三”的旋度， j 解：rotE= 品 品 品 =(0,0,0) 9 92 3 r3 这说明，在除点电荷所在原点外，整个电场无旋