高等数学教案 第十二章无穷级数 第八节一般周期函数的傅里叶级数 教学内容：周期为21的周期函数的傅里叶级数 教学目标：熟练掌握周期为2！的周期函数的傅里叶级数展开法 教学重点：周期为21的周期函数的傅里叶级数 教学难点：周期为21的周期函数的傅里叶级数展开定理 教学方法：讲授法 作业：P3221,2 教学过程： 上节我们所讨论的周期函数都是以2π为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函数， 它的周期不一定是2π怎样把周期为21的周期函数f孔x)展开成三角级数呢？ 问题：我们希望能把周期为2的周期函数x)展开成三角级数，为此我们先把周期为 2/的周期函数孔x)变换为周期为2π的周期函数， 令x=1及f)=f)-=F0,则F提以2x为周期的函数 这是因为F+2)=/T元+2]=f1+20=f)=F0 于是当F)满足收敛定理的条件时，Ft)可展开成傅里叶级数： F0-受+2a,cosu+h,smm）. =1 其中 a,-f,F0 co,n-012以6，-，F0=1,2 从而有如下定理： 定理设周期为2！的周期函数孔x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式 为 fw受+名a,o'+6sm. n=1 其中系数an,bn为 a,=f)cos”kn-0,12小 b,=,fsim2严kn1,2 当f孔x)为奇函数时， -1
高等数学教案 第十二章无穷级数 f)-=2b.sn” =1 其中b,=是fsin”匹kn=1,2… 当f孔x)为偶函数时， 受+含aw2 其中a,-2f)cosn匹kn=01,2… 例1设fx)是周期为4的周期函数，它在[-2,2)上的表达式为 ro- ,-2x<0(常数k40 0≤x<2 将孔x)展开成傅里叶级数， 解这里=2， a,-号[kcos2"受=片n"空号=0ta-0s a=20k+5d=k: 2k 6,号sm"受k点cos"受g=点-c0列 n=1,3,5,… 元 0 n=2,4,6, 于是 f-登+m受+兮m受+n受+） 231 25 2 (-0<x<+∞，40，士2，士4，在x=0,士2，士4，…收敛于今) 以 例2将函数M(x)= 0x22展开成正弦级数 p(l-x) 2 分1 解对Mx)进行奇延拓.则 0n=0n=0,1,2,3,, 6-号wsm"严h=醇空m"k+09sm 22 对上式右边的第二项，令t=-x,则 -2-
高等数学教案 第十二章无穷级数 受m"+贤m”( =gsnm"严k+(←)原n", 当n=2,4,6,…时，bn=0;当n=1,3,5,…时， 6号原如器加竖 2 于是得 M-2cm受m誓+mg-0ad 1 3