高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第三节格林公式及其应用 教学内容：格林公式： 平面上曲线积分与路线无关的条件： 二元函数的全微分求解。 教学目标：掌握和理解格林公式及应用， 会用格林公式解决相关问题 教学重点：格林公式，平面上曲线积分与路线无关的条件 教学难点： 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、格林公式 单连通与复连通区域： 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通 区域，否则称为复连通区域， 单连通区域（无“洞”区域），多连通区域（有“洞”区域) 对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走时 ，D内在他近处的那一部分总在他的左边 区域D的边界曲线L的方向： 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x)及Q(x)在D上具有一阶连续偏 导数，则有小那hd=P本+Qd, 其中L是D的取正向的边界曲线 证明：仅就D即是X一型的又是P一型的区域情形进行证明 设D: 9(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b g,(y)≤x≤w2(y) D: c≤y≤d 因为P连续，所以 dy -9-e,-at达
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 另-方面，P=LP+P=Txa(t+PTxo,(w =[iPx.(x)]-PIx.p2(x)]jdx 因此 -腭- 设上{(x)()≤区)，d.类似地可证 0w-oa 由于D即是X一型的又是Y一型的，所以以上两式同时成立，两式合并即得 b-inwav 若D不满足以上条件，则可通过辅助线将其分割为有限个上述形式的区域。 推论：设区域D的边界曲线为L,取尸-gQ:x,则由格林公式得 2-f-wk,或4=小2f- x=acose 例1.椭圆L: (0≤0≤2π)所围成图形的面积A. y=bsin 分析：只要2_a业=l,就有e-迟k=kd=A. D 解：设D是由椭圆L: x=acose (0≤B≤2π)所围成的区域. y=bsin 令P=,Qx,则那-+51 x2+2 于是由格林公式， 4=h=2k+2=2过-+ "(absin20abcosOabdab 例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明2xvc+xd小=0 证明：令254X则0P-2x-2x=0. 因此，由格林公式有2t+x=±=0.（为什么二重积分前有“士”号？） 2
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例3.计算[eykd,其中D是以o0,0),A1,1),B0,1)为顶点的三角形闭区域. 分析：要使0_业=e,只需20，Q=xey2. Ox Ov 解：令P0,Q=ey,则巴P=e,因此，由格林公式有 Ox dy j∬erd=j小red=jrey'd=xerk=-er D OA+AB+BO OA 例4计算一体，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的逛续闭曲线，D 的方向为逆时针方向。 解：令P= -y 2+2,Q x2+则当+y0时，有=y2-x2 .记L所围 &x (x2+y2)2 Oy 成的闭驱域为D当0,0)eD时，由格林公式得=0：当0,0)eD时，在D内取 一圆周上：x+y=r2(>0).由L及1围成了一个复连通区域D,应用格林公式得 空产-体-0，其牌的方海取地计方向 1x2+y2 于地-*-0r002a 3x2+y2 r2 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关： 设G是一个开区域，P八x,)、Q(x)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任 意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L:、L,等式 LPk+Q=[P+Qd恒成立，就说曲线积分∫Pd+Q在G内与路径无关，否则 说与路径有关。 设曲线积分∫P+O小在G内与路径无关，L,和L:是G内任意两条从点A到点B的 曲线，则有LP+=L,P+Q, 因为LP+0w=L,Pk+O台LP+0-LP+Od=0 →P+O+LP+Od=0⊙f6Pk+0d=0, 所以有结论：曲线积分「P+Q在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 分Pk+O小等于零. 定理2设开区域G是一个单连通域，函数P(x)及Q(x)在G内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分[♪+Q心在6内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分 必要条件是等式 卫_在G内恒成立. By Ox 充分性易证：若P-巴，则9P=0,由格林公式，对任意闭曲线人有 ax dy R( Pdx+Qdy= dkd少=0. dx 必要性：假设存在一点M∈G使卫_ =7≠0，不妨设>0， Ox dy 则由巴_P的连续性，存在%的一个6邻域M,),使在此邻域内有巴_P≥召.于 ax dy ax ay2 是沿邻域八M,)边界1的闭曲线积分 Pdx+Qdy= 川e那hw≥6>0， 2 U(Mp,δ) 这与闭曲线积分为零相矛盾，因此在G内巴-P=0. 8x by 注意：定理要求，区域G是单连通区域，且函数P八x)及Q(x,)在G内具有一阶连续偏导 数.如果这两个条件之一不能满足，那么定理的结论不能保证成立破坏函数R、Q及P、©卫 、x 连续性的点称为奇点. 说明：(1)计算曲线积分时，可选择方便的积分路径 (2)求曲线积分时，可利用格林公式简化计算，若积分路径不是闭曲线，可添加辅助线。 例5计算2y+x2,其中L为抛物线=上从00,0)到B1,1)的一段弧. 解：因为P_巴-2x在整个x0面内都成立， 所以在整个0面内，积分2y+x2与路径无关 2xd52xydxdy+2x =2dw=1. 4
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 讨论：设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向，问 0省-定 和Q=在点00不连线。因为当0时， 提示：这里P=-y 8o y2-x2 Op m(x2+y2)20y ,所以如果(0,0)不在L所围成的区域内，则结论成立，而当(0,0)在L 所围成的区域内时，结论未必成立 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关，表明曲线积分的值只与起点从点（和，）与终点(x)有关 如果 「Pt+O小与路径无关，则把它记为 Pdx+Ody 即 Ph+Q=P+Q小.若起点对为G内的一定点终点G功为G肉的动点 则a力-Pk+O咖为G内的的函数 二元函数u(x,)的全微分为du(x=山(x)dr+山(x)d少. 表达式P(x,)d+Q(x)d与函数的全微分有相同的结构，但它未必就是某个函数的 全微分 那么在什么条件下表达式P(x)dx种Q(x)dy是某个二元函数u(x)的全微分呢？ 当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3设开区域G是一个单连通域，函数P(x)及Q(x)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x,)dx+Q(x月dy在G内为某一函数u(x)的全微分的充分必要条件是等式 P_2在G内恒成立 dy Ox 证明：必要性：假设存在某一函数u(x),使得d=P(x,)d+Q(xy)d 则有 P=0兴)=，2-0兴=02因为 dy dhy ox Oxcy'OxOx dy Oyox 0-P、0连线，所以02-2，即P-09 Oxdy ay dyox Ox Oxay oyox By Ox 充分性：因为在6内P- dy Ox ,所以积分[P(x,y)+Qx,y) 在G内与路径无关.在G内从点(，)到点(x月的曲线积分可表示为函数(x 功-P达+Q冰因为
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 a月=Pxh+Oxw-【O+Pxh 所以 产e+县ra=xn 类地有号-Qx功，从面由=功0c月水甲心功4方山是某 函数的全微分 求原函数的公式，P+Qx沙， P..dyP. 例6验证：-达在右半平面(0)内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函 x2+y2 数 2+2,0=。x 解：这里P=-少 x2+y2 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数， 且有.2-x2P Ox (x2+y2)2 dy' 所以在右半平面内， x砂-还是某个函数的全微分 x2+y2 取积分路线为从A(1,O)到B(x,0)再到C(x)的折线，则所求函数为 (x,y)= x.y)xdy-ydx =0+ 1,0)x2+y2 bx2+y2 =arctan 问：为什么(，)不取(0,0)？ 例6验证：在整个xOy面内，xd+yd是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 解这里尸xy,xy.因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数，且有 -2y-2 Ox Oy 所以在整个xOy面内，xyd+xyd山是某个函数的全微分. 取积分路线为从O(0,0)到A(x0)再到队x)的折线，则所求函数为 +-0+-r-学 思考与练习： 1.在单连通区域G内，如果P八x,)和Q(x)具有一阶连续偏 导数且恒有巴-P,那么 Ox dy 6
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 (I)在G内的曲线积分[P6x,)+O(x,y)是否与路径无关？ (2)在G内的闭曲线积分P(x,)+Q(x,)是否为零？ (3)在G内P八x)dx+Q(x,)dy是否是某一函数u(x)的全微分？ 2.在区域G内除M点外，如果P(x)和Q(x)具有一阶连续 偏导数，且恒有 2_P,G是G内不含6的单连通区域，那么 (1)在6：内的曲线积分Px)d+Oxy)是否与路径无关？ (2)在G,内的闭曲线积分P(x,)dk+O(x,)妙是否为零？ (3)在G内P(x)dxQ(x,)dy是否是某一函数u(x,)的全微分？ 3.在单连通区域G内，如果P(x)和Q(x,y)具有一阶连续偏 导数P≠巴，但巴_P非常简单，那么(1)如何计算G内的闭曲线积分？（②）如何计算 Ox dy G内的非闭曲线积分？(3)计算L(sin y-2y+(e"cosy--2)d,其中L为逆时针方向的 上半圆周(x-a)2+2=a”,20, >