高等数学教案 第十章重积分 第三节三重积分 教学内容：三重积分基本概念 三重积分在直角坐标系、柱面坐标系以及球面坐标系下的三重积分的计算方法 教学目标：了解三重积分基本概念及基本计算方法： 了解直角坐标系、柱面坐标系以及球面坐标系下的三重积分的计算方法 教学重点： 教学难点：直角坐标系化三重积分为累次积分的基本方法 柱面坐标系化三重积分为累次积分的基本方法 球面坐标系下化三重积分为累次积分的基本方法 柱面坐标变换、球面坐标变换的合理应用 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、三重积分的概念 定义设f(xyz)是空间有界闭区域2上的有界函数.将2任意分成n个小闭区域△n, △吃，···，△其中△表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个△上任取一点(5，， ),作乘积f(5,n5)△(il,2,,)并作和∑f传，，5)△y.如果当各小闭区域 i=1 的直径中的最大值元趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(x⅓2)在闭区 域Q上的三重积分，记作小/(x,y2w.即 2 (.y.xdv-lim.5)Av. Ω 2→021 三重积分中的有关术语： —积分号，f(x,人)—被积函数，f(x,上2)d一 一被积表达式，dr体积元素，x乃2—积分变量，2—积分区域 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分2，则△v=Ax△yA,因此也把体 积元素记为d加=dxdydz,三重积分记作 [Jf(x.y.Xdv-I[[f(x.y.-)drdyd=. 2 当函数f(x乃动在闭区域Q上连续时，极限im2fG,,S)△y是存在的，因此fx 20i=1 乃，Z)在2上的三重积分是存在的，以后也总假定f(x八，Z)在闭区域上是连续的
高等数学教案 第十章重积分 三重积分的性质：与二重积分类似 比如 icfc%ag6h=s/c2teeka2: v.+.v.v: 21+2 21 w=V,其中V为区域Q的体积。 2 二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算：三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域2可表为a(x 月≤z五(x月，h(x)≤≤(x),b, 则 0cyw-[fc2加 -[ch =afy. 即 w-a8c地 其中D：(x)≤%(x),≤≤b.它是闭区域2在xOy面上的投影区域. 提示：设空间闭区域2可表为(x)≤≤(x,月，n(x)≤s(x),≤b,计算 (x..dv 基本思想： 对于平面区域D()≤s(x),匹≤b内任意一点(x),将(x5)只看作z的函数，在 区间[z(x),五(x]上对2积分，得到一个二元函数F(x), Fx=f达， 然后计算F(x)在闭区域D上的二重积分，这就完成了f(x乃)在空间闭区域2上的三重 积分 ra=ao-a[caw. w-a达o
高等数学教案 第十章重积分 -到fc地 即 xw=[水地 其中D：n(x)≤心(x),孤≤b.它是闭区域2在xOy面上的投影区域 例1计算三重积分 川xdd小dk,其中2为三个坐标面及平面x+2件1所围成的闭区域. 解作图，区域Q可表示为： 0s21--2y0≤y1-0,0s1. 于是 t-a片 =0-x2w4-22+=8 讨论：其它类型区域呢？有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积 分、再计算一个定积分.设空间闭区域Q={(xg)(x)∈D,G≤z≤c},其中D是竖坐标 为z的平面截空间闭区域2所得到的一个平面闭区域，则有 j/,y2w=∬fc,y2h 例2计算三重积分 作达，其0是由指球面子茶兰 +。之=】所围成的空间闭 区域. 解空间区域可表为：之+石么 C2,-cs asc. 于是 edt=【ta=ab[-3et=音ac心 D 2. 利用柱坐标计算三重积分 设M(x,y,z)∈R3将△x,△y用极坐标△p,△O代替，就称为点M的柱坐标.直角坐标与 柱面坐标的关系： x=pcos0 0≤p<+0 y=psin0 0≤0≤2π 2= 00<z<+0 在柱面坐标系中体积元素为 dv=pdpdθdz 3
高等数学教案 第十章重积分 .)dxdydz-F(p.0.)pdpd0dz 其中F(p,0,z)=f(pcos0,psin0,z) 适用范围： 1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单： 2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 例3.计算三重积分 瓜，W+dxdydz其中2为由柱面x2+y2=2x及平面 z=0,z=a(a>0),y=0所围成半圆柱体. 解：在柱面坐标系下 [0≤p≤2cos8 2:}0≤0≤号 0≤z≤a 原式=zp2dpd0dz=fzdz fde”p2dp 9 3.利用球坐标计算三重积分 设M(x,y,z)∈R3,其柱坐标为(p,O,z),令OM=r,∠zOM=p,则(r,O,p)就称为 点M的球坐标。 直角坐标与球面坐标的关系 x=rsin ocose 0≤r<+0 y=rsin osin 0 0≤0≤2π z=rcoso 0≤p≤π 在柱面坐标系中体积元素为 dv=r2 sin odrdode y.)dxdydz-(0)sinodrdodo 其中F(r,0,p)=f(r sin cos0,rsin sin,r cos p) 适用范围： 1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单： 2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离， 例4.计算三重积分 (x2+)y2+2)dxdydz,其中Q为锥面z=VR+y与球面 x2+y2+z2=R2所围立体
高等数学教案 第十章重积分 解：在球面坐标系下 0≤r≤R n:o≤ps号 0≤0≤2元 .(+dxdyd=-f'do Psinodordr-(2-)
