高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第四节对面积的曲面积分 教学内容：对面积的曲面积分的概念与性质： 对面积的曲面积分的计算方法。 教学目标：了解对面积的曲面积分的概念和性质， 掌握对面积的曲面积分的计算方法 教学重点：对面积的曲面积分的计算方法 教学难点：对面积的曲面积分的计算法 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设Σ为面密度非均匀的物质曲面，其面密度为ρ(x,gz),求其质量？ 类似求平面薄板质量的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限”的方法，可得 M=im2p(5,,S)4S,a为各小块曲面直径的最大值 01 定义设曲面Σ是光滑的，函数f(xgz)在Σ上有界.把Σ任意分成n小块：△S,△S, ··,△S(△S也代表曲面的面积)，在△S上任取一点(5，，5：)，如果当各小块曲面的直径 的最大值元0时，极限im2∫传，，5)△S,总存在，则称此极限为函数fx,习在曲面Σ 20=1 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作川fx,y,z)5,即 Σ 广/八S=m之fGAS,其中K大叫微被积函数.三叫做积分曲面 1→0e1 据此定义，曲面形构件的质量为 M=j儿p(x,y,z)ds 曲面面积为S= as 对面积的曲面积分的存在性： 我们指出当(xgz)在光滑曲面Σ上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定 f(x,乃z)在Σ上连续. 根据上述定义面密度为连续函数p(x,y,z)的光滑曲面Σ的质量M可表示为p(x,yz)在Σ 上对面积的曲面积分： M=f(.y.)ds 如果Σ是分片光滑的我们规定函数在Σ上对面积的曲面积分等于函数在光滑的，各片曲面
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 上对面积的曲面积分之和.例如设Σ可分成两片光滑曲面Σ及Σ2（记作Σ=Σ1+Σ）就规定 [f(x.y.2)ds=[f(x.y.2)ds+ f(x,y,z)ds Z1+2 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似， 对面积的曲面积分的性质： (1)设c1、c2为常数，则 Jjc.y.)+cg(.y.)HS-cJ[f(x.y,2ds+c2JJg@y.dS: (2)若曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ及Σ，则 a-Jxxa+jes: (3)设在曲面Σ上(x52)≤g(xyz),则 f(cy,2s≤.y2as; (④小dS=A,其中A为曲面Σ的面积。 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为(x5z)的物质曲面的质量为 M=1im2f5n.5△S,=∬fx,2s 另一方面，如果Σ由方程=z(x)给出，Σ在xOy面上的投影区域为D,那么曲面的 面积元素为dA=1+z(xy)+z(x,y), 质量元素为f几x,八，z(x,ydA=f几x,yz(x,y儿W1+(x,y)+z(c,y)d. 根据元素法，曲面的质量为 M=小/几x,y,2(,ylV1+2x,)+zx)d少 因此川fx,y,z)d5=川fxy2(x,儿V1+zx)+zx)dkd. 化曲面积分为二重积分：设曲面Σ由方程2=z(x)给出，Σ在xOy面上的投影区域为 D,函数2=z(x月在D,上具有连续偏导数，被积函数f(x5z)在Σ上连续，则 [(.y.dS-[[/x.y.z..dxdy. D 如果积分曲面∑的方程为=y(名，)，D为Σ在zOx面上的投影区域，则函数f(x5) 在Σ上对面积的曲面积分为
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 [f(x.y.zdS-x.()(+(ded. 如果积分曲面∑的方程为=x(g),D,为Σ在yOz面上的投影区域，则函数f(x上) 在Σ上对面积的曲面积分为 小fcy,zdS=j∬几x0ayV1+x0z+xO,2可dt. D 例1计算曲面积分 以S,其中Σ是球面4+=d被平面 =h(0<k)截出的顶部. 解：Σ的方程为z=√a2-x2-y2,D:+≤a-斤. 因为 -y --,- -+a可. 所以 s=n- 提示：、 +2+=+a--+a2--y-2-y a 例2计算可zdS,其中Σ是由平面=0，=0,20及+件2=1所围成的四面体的整 个边界曲面 解整个边界曲面∑在平面=0、=0、2=0及+件2=1上的部分依次记为∑、2、 及，于是 -a+小a5+小ya5+小oa =0+0+0+J八ozdS=j八5l-x-ykdd =5h产0-冰-5k源 提示：：=1-x-gdS=1+22+2dkd=V3dkdy
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例3设：x2+y2+z2=a2f(x,y,z)= x2+y2 当z2Vx2+y 0 当z三：+y+= 解：取球面坐标系，则z=Rcoso, dS=R2 sinodedo 1-Jaop 2π R2sing do -Rcosp =2πR‖ d(2-Rcos) A-Rcoso =2πRn2+R A-R 窗5计算1二+其中之是介于半面2=0,2=H之阿的圆柱面 x2+y2=R2 分析：若将曲面分为前后（或左右）两片，则计算较繁。 解：取曲面面积元素dS=2πRdz H2πRdz 则1=R2+2 H =2πarctan R 6求椭圆柱面兮+。位于你面上方及平面2少下方那都分柱面之的血面 4
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 S 解：s=儿ds L:x=√5cost,y=3sint(0≤1≤π) dS=zds =[zds=yds=3sint5sin21+9cosdr =-3[V5+4eos7dos1=9+n5 5
