高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 第五节平面及其方程 教学内容：平面方程的几种形式，平面的夹角 教学目标：1、了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法： 2、会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。 教学重点：1.平面方程的求法： 2.两平面的夹角 教学难点：平面的几种表示及其应用 教学方法：讲授法 作业：P422,6,7,9 教学过程： 一、平面的点法式方程 法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道， 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直， 唯一确定平面的条件：当平面Ⅱ上一点M(和，%，)和它的一个法线向量(A,BCO 为已知时，平面的位置就完全确定了. 平面方程的建立：设M(xgz)是平面7上的任一点.那么向量M。M必与平面的 法线向量n垂直，即它们的数量积等于零： n·MoM=0 由于 n=(A B.C,MoM=(x-xo,y-yo:Z-Z0), 所以 A(x-xa)+B(-%)+C(2-2a)=0 这就是平面上任一点M的坐标x乃，z所满足的方程. 反过来，如果M(xyz)不在平面7上，那么向量M,M与法线向量n不垂直，从而 n·M。M=0.,即不在平面I上的点M的坐标x乃z不满足此方程 由此可知，方程A(x)+B(y-)+C(?-)=-0就是平面的方程.而平面就是平面方 程的图形.由于方程A(x-)+B(y-6)+C(22)=0是由平面7上的一点M(而，6,2)及它的 一个法线向量=(ABO确定的，所以此方程叫做平面的点法式方程 例1求过点(2，-3,0)且以=(1，-2,3)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 (x-2)-2(43)+3z0
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 即 x-243z-8=0. 例2求过三点M(2,-1,4)、M(-1,3,-2)和M(0,2,3)的平面的方程. 解我们可以用M,M,×M,M,作为平面的法线向量n. 因为M,M2=(-3,4,-6),M1M=(-2,3,-1), 所以 i j k n=MM,×M,M,=-34-6=14i+9j-k. -23-1 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 14(x-2)+9(41)-(z-4)=0, 即 14x+9y-Z-15=0. 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x⅓，z的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它 的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示· 反过来，设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D0. 我们任取满足该方程的一组数和，6，风，即 Axo+Byo+Czo+D-O. 把上述两等式相减，得 A(x-a)+B-%)+C(2-Z0)=0, 这正是通过点M(和，%，)且以=(A,BO为法线向量的平面方程.由于方程 Ax+By+Cz+D-0. 与方程 A(x-)+B(-%)+C(Z-Z)=0 同解，所以任一三元一次方程A+B件Cz+D0的图形总是一个平面.方程A+件Cz+D=0称为 平面的一般方程，其中xgz的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即 n=(A B.C). 例如，方程3-4件z-9=0表示一个平面，n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量 讨论：考察下列特殊的平面方程，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的 特殊点或线。 Ax+By+Cz=O; B件Cz+D=0,Ax+C2+D=0,Ax+B件D=0; Cz+D-0.Ax+D-0,By+D0
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 提示 D0平面过原点 =(0,BO法线向量垂直于x轴，平面平行于x轴 n=(A,0,O,法线向量垂直于y轴，平面平行于y轴 =(A,B,0),法线向量垂直于z轴，平面平行于z轴 =(0,0,O,法线向量垂直于x轴和y轴，平面平行于xOy平面 =(A,0,0),法线向量垂直于y轴和z轴，平面平行于yOz平面 =(0,B,0),法线向量垂直于x轴和z轴，平面平行于zOx平面 例3求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面的方程 解 平面通过x轴，一方面表明它的法线向量垂直于x轴， 即=0；另一方面表明 它必通过原点，即D0.因此可设这平面的方程为 B+C2=0. 又因为这平面通过点(4，-3，-1)，所以有 -3B-C0, 或 C-3B. 将其代入所设方程并除以B(0),便得所求的平面方程为 -32-0 例4设一平面与x、八、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c三点，求 这平面的方程（其中#0，b≠0，c≠0）. 解 设所求平面的方程为 Ax+By+Cz+D0. 因为点P(a,0,0)、Q(O,b,0)、R(0,0,c都在这平面上，所以点PA、R的坐标都满足所 设方程，即有 aA+D=0, bB+D=0. cC+D=0. 由此得 A=-卫 c 将其代入所设方程，得 -Dx-Dy-D:+D=0 a b c 即 +Y+三=1. a b c 上述方程叫做平面的截距式方程，而a、h、c依次叫做平面在不、人z轴上的截距 三、两平面的夹角 两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。 w2
高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数一 设平面I和卫的法线向量分别为n=(A,B,G)和n=(A,B,C),那么平面几和的 夹角0应是(n1,n2)和(-，n2)=π-(，n2)两者中的锐角，因此，cos0cos(m,n2儿.按两向 量夹角余弦的坐标表示式，平面☑和的夹角0可由 cose-cos(m m2)442+B B+CC2 √A+B+CVA号+B盼+C 来确定。 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： I、亚垂直相当于AA+BB+GCQ=0; n、Ⅱ，平行或重合相当于4=B-G A2 B2 C2 例5求两平面x42z6=0和2x种y件z-5=0的夹角. 解 n=(4,B,G)=(1,-1,2),=(4B,C)=(2,1,1), cos0=- 442+BB2+CC2 1×2+(-1)×1+2×1_1 4++CV46+B3+C3V1P+←1)2+2V22+12+1P2’ 所以所求夹角为0=号 例6一平面通过两点M(1,1,1)和M(0,1,-1)且垂直于平面+42=0，求它的方程. 解：己知从点M到点的向量为=(-1,0，-2)，平面x+件2=0的法线向量为=(1,1， 1). 设所求平面的法线向量为=（(AB) 因为点M(1,1,1)和M(0,1,-1)在所求平面上，所以nLn即-A-2C0,4=-2C 又因为所求平面垂直于平面+件=0，所以nLn,即+AC0压C 于是由点法式方程，所求平面为 -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0即2x-y-2=0 例7设B(而，%，)是平面A+B件Cz+D-0外一点，求B到这平面的距离 解设是平面上的单位法线向量在平面上任取一点乃(1，，)，则B到这平面的距 离为 d=PBe=4(%o-)+BYo)+C(o) 42+B2+C2 _Axo+Byo+Czo-(Ax+By +Cz)Axo+Byo+Czo+D VA2+B2+C2 2+B2+C2 提示：en= BC(B.C), PE=(x。-x,y-y,20-3) 4
