高等数学教案 第六章定积分的应用 第二节定积分在几何上的应用 教学内容：一、平面图形的面积 二、立体的体积 三、平面曲线的弧长 教学目标：会熟练利用元素法求面积、体积、弧长等儿何量，并会求一些关于定积分计算的 实际问题 教学重点：直角坐标系下的面积、体积、弧长等几何量的计算. 教学难点：利用元素法正确找出体积元素 教学方法：讲授 作 业：P2841,2,5,12,15,21,25 教学过程： 一、平面图形的面积 (x利 1.直角坐标情形 dA 设平面图形由两条曲线 五(x =(x)与y=x)及两条直线x=a与=b所围成，则面积 0 xx+dx b 元素为dA=[fx)-f(x)],于是平面图形的面积为 A=[Lf:(x)-f(x)k. 例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积. 解法一先画所围的图形简图 2=2x y2=2x +dy 8,4 解方程 y=x-4 y=x-4 得交点：(2，-2)和(8,4) (2,-2) 选取y为积分变量，则-2≤y≤4，面积元素： dM=0+4-yw 则面积 62 =18 解法二选取x为积分变量，则0≤x≤8 面积元素：
高等数学教案 第六章定积分的应用 在0≤x≤2上，dA=[√2x-(-√2x)]=2V2xd 在2≤x≤8上，dA=[V2x-(x-4)]k=(4+V2x-x)dk 则面积 A=j22xk+J[4+√2x-] 3 3 =18 显然，解法一较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题. 例3求椭圆女+y 。十分=1所围成的图形的面积 解据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍， 取x为积分变量，则0≤x≤a,y=b, dA=ydx=b dx a xx+dx 作变量替换x=acost 0≤1≤7 则y=b1- bsin t,dx =-asin tdt in-asim /yd =dab jsin'd=ab. 212 2.极坐标情形 设平面图形是由曲线r=p()及射线B=α，O=B所围成的曲边扇形. 2
高等数学教案 第六章定积分的应用 a+d r =r(e) 取极角B为积分变量，则≤0≤B,在平面图形中任意截取一典型的面积元素△A,它是 极角变化区间为[0,0+d0]的窄曲边扇形. △A的面积可近似地用半径为r=p(),中心角为d0的窄圆边扇形的面积来代替， 即 AAdo 从而得到了曲边梯形的面积元素d4=[p(0)d0 从而 p2(0)d0. 例4计算阿基米德螺线=a0(a>0)上相应于从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图 形的面积 解如图，所求面积 sajd y=ae 2@ 3 二、体积 1.旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线 称为旋转轴。 计算由曲线y=f(x)和直线 =( x=a,x=b及x轴所围成的 曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成 3
高等数学教案 第六章定积分的应用 的立体的体积. 取x为积分变量，则x∈[a,b],对于区间[a,b]上的任一区间[x,x+],它所对应的 窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，d水为高 的圆柱体体积.即：体积元素为 dW=π[fx)Pd 所求的旋转体的体积为 V=「π[f(xdk 例6连接坐标原点O及点P(h,)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它 绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积. 解直角三角形斜边的直线方程为y=方x。 取x为积分变量，则x∈[O,] 所求圆锥体的体积为 例7计算由椭圆 ，y2 。+6 =1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体）的体积. 解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y=bva2-x2 a 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.体积元素为 dW=πy2dk 于是所求旋转椭球体的体积为 r-ra2-w=--号 a 3
高等数学教案 第六章定积分的应用 例8计算由摆线x=a(t-sin),y=a(1-cos)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴、 y轴旋转而成的旋转体的体积 解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 V.=m2dk=πa21-cos）2.a1-cos0dh -za(-3cost+3cos21-cos)dt =5π2a3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差.设曲线左半边为x=x) 右半边为xx2y).则 V,=a0)-0d =πna2t-sin)2.asintd-πa2t-sin)2,asintd m"(-sin t)'sin dr 'a 2.平行截面面积为已知的立体的体积 由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面 积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算 A(x) x+dx 取定轴为x轴，且设该立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之内，以 A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积， 取x为积分变量，它的变化区间为[a,b].立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dk] 的一薄片的体积近似于底面积为A(x),高为的扁圆柱体的体积.即：体积元素为 dV =A(x)dx 于是，该立体的体积为
高等数学教案 第六章定积分的应用 A(x)dx. 例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α.计算这平面截圆 柱所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为 y轴.那么，底圆的方程为x2+y2=R2.立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 .两个直角边分别为VR2-x2及√R2-x2ana.因而截面积为4A(x)=号(R2-x2)tana. 于是所求的立体体积为 r=R2-xr))tanok=:tanaIR2x-号r1a=号R3ana. 3 例10求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的 体积。 解取底圆所在的平面为xOy平面，圆心为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行.底圆的 方程为x2+y2=R2过x轴上的点x(-R<<R)作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形 .这截面的面积为 A(x)=h.y=hR2-x2 于是所求正劈锥体的体积为 v-R-ds -2R2h cos2 ado-h. 三、平面曲线的弧长 B-M 设A,B是曲线弧上的两个端点.在弧AB上任取 分点A=M0,M,M,·,M-,M,,Mn-l,Mn=B, A-Mo 并依次连接相邻的分点得一内接折线.当分点 M 的数目无限增加且每个小段M-M都缩向一点时， 如果此折线的长∑1MM,的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线弧 i=l AB是可求长的. 定理光滑曲线弧是可求长的 1.直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 6
高等数学教案 第六章定积分的应用 y=fx)(a≤r≤b) 给出，其中x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度. 取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[a,b].曲线=x)上相应于[ab]上任一小区间 [x,x+]的一段弧的长度，可以用该曲线在点（化，）)处的切线上相应的一小段的长度来近似 代替.而切线上这相应的小段的长度为 V(d)2+()2=V1+y2k, 从而得弧长元素（即弧微分） ds=1+y"2 dx 以V1+y2为被积表达式，在闭区间[a,b1上作定积分，便得所求的弧长为 s=心N1+y2k 例11计算曲线y=x2上相应于x从a到b的一段弧的长度 解y=x之，从而弧长元素 ds=1+y'2dx=1+xdx 因此，所求弧长为 s=+x=号0+)3]g=0+b)2-0+a), 2.参数方程情形 设曲线弧由参数方程x=()、y=()(a≤β)给出，其中)、)在[a,例上具有连续导 数 因为虫=0，=0d1,所以弧长元素为 dx '(t) Ψ2( ds 1+ -o'()dt=()+w2()dt. p'2( 所求弧长为 s=P+vdr. 例12计算摆线x=a(0-sin0),)y=a(1-cos0的一拱(0 ≤0≤2π)的长度 解弧长元素为 >
高等数学教案 第六章定积分的应用 ds=a2(1-cos0)2+a2 sin20d0 a(-cs0do-2asin0 所求弧长为 9=2asm号a0=2ad-2cos号1=a 3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 pp0(a≤B≤B) 给出，其中川0在[a,冈上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系可得 x=p0)cosB,y=d)sinda≤0≤B). 于是得弧长元素为 dk=Vx'2(0+y'2(0)d0=Vp2(0+p'2(0)d0 从而所求弧长为 s=2Vp20+p'20d0. 例13求阿基米德螺线p=a0(a>0)相应于0从0到2π一段的弧长. 解弧长元素为 ds =a202+a2do=av1+02do. 于是所求弧长为 s=aN+02a0=号2ai+4n2+ln(2r+1+4r21 8