高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理 教学内容： 1、导数的定义： 2、导数的几何意义： 3、函数的可导性与连续性的关系。 教学目标： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件与结论，知道其儿何意义。了解柯西中值定理的条 件和结论： 2、掌握中值定理在零点问题（方程根的存在性）、等式和不等式证明中的应用。 教学重点： 1、中值定理的条件与结论，儿何意义： 2、中值定理在零点问题（方程根的存在性）、等式和不等式证明中的应用。 教学难点： 1、中值定理的条件与结论，几何意义： 2、中值定理在零点问题（方程根的存在性）、等式和不等式证明中的应用。 教学方法：启发式教学法 作 业：341,2,3,5,6,7,8,9,10,11. 教学过程： 一、罗尔定理 费马引理 设函数x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义，并且在xo处可导，如果对任意x∈U(xo),有 fx)sxo(或x)≥xo), 那么f'(xo)=0 罗尔定理如果函数y=x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有a)b),那么在 (a,b)内至少在一点5，使得f"()=0. 简要证明：(1)如果x)是常函数，则f'x)=0,定理的结论显然成立 (2)如果x)不是常函数，则x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点，不妨设有一最大值点
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 5∈(a,b).于是 f5)=fr)=1imf)-f组20， x→x-5 f'(分=f(5)=lim f-f且0或△x0）或 [x+△x,x](△x<O)应用拉格朗日中值公式，得 fx+△x)-x)=f'(x+△r)·△x(0KI). 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 如果记x)为y,则上式又可写为 △=f'(r+△x)·△x(0<1) 试与微分d=f'(x)·△x比较：dy=f"(x)·△x是函数增量△y的近似表达式，而 f'(r+△x)·△r是函数增量△y的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用，我们证明如下定理： 定理如果函数x)在区间I上的导数恒为零，那么x)在区间I上是一个常数. 证在区间1上任取两点，x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理，就得 x2-fx1)=f'(月(x2-x)(x1<5x2). 由假定，f'(月=0，所以x2)-x)=0,即 fx2)=x). 因为x,x2是I上任意两点，所以上面的等式表明：x)在I上的函数值总是相等的，这就是说，x)在区 间1上是一个常数 例2.证明当o0时，本d+水x 证设x)=l(1+x),显然x)在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 )-0)=f'(月x-0),0Kx。 由于0-0，f)=本x因此上式即为 n+)南 又由0<x,有 x<In(l+x)<x. 1+ 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 (X=F(x) Y=f(x) (asr≤b) 表示，其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C上必有一 点x=5，使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=处的切线的斜率为 dyf(s) dx F(' 弦AB的斜率为 f(b)-f(a) F(b)-F(a) 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 于是 f(b)-f(a)f() F(b)-F(a)F( 柯西中值定理如果函数x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F'(x)在(a, b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点5，使等式 fb)-f(a)_f'() F(b)-F(a)F'(5) 成立 显然，如果取Fx)=,那么F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=l,因而柯西中值公式就可以写成： Ab)-fa)=f((b-a)(a<5b), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 小记： 1、理解中值定理中的条件都是充分条件而并非必要条件，但都是很重要的条件，缺一不可。 2、构造辅助函数帮助证题是数学中的一个重要方法，需重视和逐步熟悉这一方法并积累这方面 的经验。 4