高等数学教案 第一章函数与极限 第五节 极限的运算法则 教学内容：极限的运算法则 教学目标：掌握极限的四则运算法则，会求函数极限。 教学重点：极限的四则运算法则：极限计算。 教学难点：极限计算。 教学方法：新课讲授法。 作 业：p491,2,3,4,5 教学过程： 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 例如，当x0时，x与sinx都是无穷小，x+sinx也是无穷小. 简要证明：设a及B是当xxo时的两个无穷小，则Ve>0,3G>0及>0，使当00.因为a是当xo时的无穷小，对于号0存在着>0，当00存在着>0，当00.存在G>0,使当0<-xd<δ2时，有
高等数学教案 第一章函数与极限 lak<s. 取6=min{6,},则当0<r-xdk6时，有 lu-a<Me 这说明α也是无穷小 例如，当xo时，L是无穷小，arctanx是有界函数，所以arctanx也是无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理3如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么 (1)lim [f(x)tg(x)]=limf(x)+limg (x)=4B; (2)limf(x)g(x)=limf(x).limg (x)=4-B; 8m得品得音an 证明(1)：因为limf(x)=A,Iimg(x)=B,根据极限与无穷小的关系，有 f(x)=A+a,g (x)=B+B. 其中a及B为无穷小.于是 f(x)±g(x)=(A+网±(B+)=(A±B)+(a±)， 即f(x)士g:)可表示为常数(A±B)与无穷小（士）之和.因此 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B. 推论1如果limf()存在，而c为常数，则 lim [cf(x)]=c limf(x). 推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则 lim [f(x)]"=[limf(x)]". 定理4设有数列{xn}和yn.如果 lim x=A,lim y=B, 74 那么 (I)lim(xn±yn)=A±B; (2)lim(x)=4.B; (3)当n0(0=l,2,)且B≠0时，1im=4 →0nB 定理5如果gx)2x),而lim(x)=a,limx)=b,那么a2b. 2
高等数学教案 第一章函数与极限 例1.求lim(2x-l). 解：lim(2x-1)=lim2x-liml=21imx-1=2-l-1=1. x-1 讨论：若Px)=aoxn+a,x-l+…+am-x+an,则IimP()=? Yo 提示：limP(x)=lim(aox)+lim(ax-)+…+lim(a-1)+lim d → xo x→0 =do lim (x")+a lim (x-1)+...+a-lim x+lim a 0 X-X =ao(limx)+a(limx)-+…+an)=aoo”+axo"-+·+an=P(xo). X中本0 若P(x)=aox"+a,x-1+…+an,则1imP(x)=P(x). 0 例2.求lim x3-1 x→2x2-5x+3 lim(x3-1) 解：lim x3-1 r? k-→2x2-5x+31im(x2-5x+3) r→2 limx3-liml (0imx)）3-1 23-1 7 1imx2-5]imx+lim3(imx)2-5-2+3-22-10+33 2 T→2 T一》2 提问：如下写法是否正确？ x3-1 limx3-1 23-1 7 i四x-5x+3m8-5x+32-10+33 x3-1 lim(x3-1) lim(23-1) 7 lim r→2 2 2x2-5x+3imx2-5x+3)im(22-10+3)-3· x-+2 X>2 例3.求limx-3 x3x2-91 limI 解四号册吗站名 x-3 r- x-23 例4.求lim 2x-3 x1x2-5x+4 解：1im5r+4--5-1+4=0, r>l 2x-321-3 根据无穷大与无穷小的关系得im2x-3 12-5r+4=0. 提问：如下写法是否正确？ 2x-3 lim(2x-3)-1 x2-5x+41im6r2-5x+40=60. lim x-1
高等数学教案 第一章函数与极限 讨论： 有理函数的极限lim P=? →xQ(x) 提示 当Q(xo)≠0时， lim P(P(o) x→Qx)Qx) 当0(x)=0且Pxo)≠0时，1imP四=e. →0Q(x) 当Qxo)=Pxo)=0时，先将分子分母的公因式(x-xo)约去. 例5.求lim 3x3+4x2+2 x7x3+5x2-3 解：先用x去除分子及分母，然后取极限： lim3x+4x2+2 3+42 +07x3+5x2-3 lim=3 07+537 x x3 例6.求1im3r2-2x-l →02x3-x2+5 解：先用x去除分子及分母，然后取极限： 321 lim32-2-1 =limx x2 3=0=0. 2-+52-52 x x3 例7.求1im2r3-2+5 →03x2-2x-1 解：因为1im32-2r三=0，所以 xo2x3-x2+5 lim2r3-2+5 =00. x3x2-2x-1 讨论： 有理函数的极限1imar+ax-+…+a=? →西bxm+hxm-l+…+bm 提示： [0 nm 例8.求lim sinx x-→0X 解：当x0时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用
高等数学教案 第一章函数与极限 因为sinx=Isinx,是无穷小与有界函数的乘积， xX 所以lim sin=0. xx 定理8（复合函数的极限运算法则）设函数)=儿gx)]是由函数y=与函数=gx)复合而成， 几g(c)]在点xo的某去心邻域内有定义，若Iimg(x)=4o,1imfu)=A,且在xo的某去心邻域内 70 g(x)≠4o,则 m/儿g(lim f()=A. 定理8（复合函数的极限运算法则）设函数)y=几g(x)]是由函数)y=)与函数=gx)复合而成， 几gx]在点xo的某去心邻域内有定义.若gx)→ocxo),)→A(u→u),且在xo的某去心 邻域内gx)≠4o,则 limf几g(x]=lim f(u)=A. 简要证明设在{x00,30,当00,3p0,当00,当0<r-xokd时，有lg(x)-4ok7. 取min{,d},则当0<r-xak时，0<lg(x)-ok7,从而 Mg(x)]-Af(u)-A6 注： 把定理中limg(x)=,换成limg(x)=o或1img()=o, → 而把lim f(u)=A换成limf(u))=A可类似结果. 把定理中g(x)-→o(x→x0)换成g(x)→c(xxo)或gx)→oo(xo), 而把0)→A(u→o)换成(u)→A(→o)可类似结果. 例如 x2-9 例9求x-3 -9是由y=后与4=-9复合而成的。 解y=x-3 x-3 因为1im2-9 x3x-3 2-9=limi=6 6,所以x-3