高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第五节函数的极值与最大值最小值 教学内容： 1、极值的定义： 2、判定函数极值的方法： 3、会求出闭区间上连续函数的最值并会解较简单最值问题的应用题。 教学目标： 1、掌握判定函数极值的方法： 2、会求出闭区间上连续函数的最值并会解较简单最值问题的应用题。 教学重点： 1、判定函数极值的方法： 2、会求出闭区间上连续函数的最值并会解较简单最值问题的应用题。 教学难点： 1、判定函数极值的方法： 2、会求出闭区间上连续函数的最值并会解较简单最值问题的应用题。 教学方法：启发式教学法 作业：Ps1,8,15,16. 教学过程： 一、函数的极值及其求法 极值的定义： 定义设函数x)在区间(a,b)内有定义，xoe(a,b).如果在xo的某一去心邻域内有 fx)xo),则 称o)是函数x)的一个极小值. 设函数x)在点xo的某邻域Uxo)内有定义，如果在去心邻域U(xo)内有x)<fxo)(或 fx)Axo)), 则称xo)是函数x)的一个极大值（或极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果x)是函数x)的一个极大值，那只是就 xo附近的一个局部范围来说，xo)是x)的一个最大值；如果就fx)的整个定义域来说，xo)
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 不一定是最大值.关于极小值也类似 极值与水平切线的关系：在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平 切线的地方，函数不一定取得极值. 定理1（必要条件）设函数x)在点xo处可导，且在xo处取得极值，那么这函数在x0处 的导数为零，即f'(xo)=0. 证为确定起见，假定x)是极大值（极小值的情形可类似地证明）.根据极大值的定义， 在0的某个去心邻域内，对于任何点x,x)0, x-X0 因此 f'(xo)=lim f&)-fw20: x→x0 x-X0 当x>0时 f)-f<0, x-X0 因此 )=lim )-fo)so; X+x0 x-X0 从而得到 f'(xo)=0. 简要证明：假定xo)是极大值.根据极大值的定义，在xo的某个去心邻域内有x)< xo).于是 f)=c)=1imf-f62≥0， x→x-0 同时 fo)=fx,)=imf-fl≤0， →x0 x-X0 从而得到 f'(xo)=0. 驻点：使导数为零的点（即方程f'(x)=0的实根）叫函数)的驻点.定理1就是说：可导 函数x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来，函数x)的驻点却不一定是极值点. 考察函数x)=x3在x=0处的情况. 定理2（第一种充分条件）设函数x)在点x的一个邻域内连续，在x的左右邻域内可导. 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (1)如果在xo的某一左邻域内f"(x)>0,在xo的某一右邻域内f"(x)0,那么函数x)在x0 处取得极小值； (3)如果在xo的某一邻域内f'(x)不改变符号，那么函数x)在xo处没有极值。 定理2'（第一种充分条件）设函数x)在含xo的区间(a,b)内连续，在(a,x0)及(xo,b)内可 导 (1)如果在(a,xo)内f'x)>0,在xo,b)内f"(x)0,那么函数x)在xo处取得极小值； (3)如果在(a,xo)及(xo,b)内f'(x)的符号相同，那么函数x)在xo处没有极值 定理2"（第一充分条件）设函数x)在xo连续，且在xo的某去心邻域(0-dx0Lxo,x+) 内可导 (1)如果在(x0-6xo)内f'(x)>0,在(xo,xo+)内f'(x)0,那么函数x)在x0处取得极小值； (3)如果在(xo一6xo)及(xo,xo+)内f'(x)的符号相同，那么函数x)在xo处没有极值 定理2也可简单地这样说：当x在xo的邻近渐增地经过xo时，如果f'()的符号由负变正， 那么x)在xo处取得极大值；如果f"(x)的符号由正变负，那么x)在xo处取得极小值；如果f '()的符号并不改变，那么x)在x处没有极值（注：定理的叙述与教材有所不同） 确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f'(x) (2)求出x)的全部驻点和不可导点； (3)列表判断（考察f'(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点 是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)； (4)确定出函数的所有极值点和极值， 例1求函数f(x)=(x-4)x+)2的极值 解(1)x)在(-0，+0)内连续，除=-1外处处可导，且 (2)令f"(x)=0,得驻点x=1;x=-1为x)的不可导点； (3)列表判断 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 x (-0,-1) -1 (-1,1) (1,+o0) f'"(x) 不可导 0 fx) 0 -34 (4)极大值为九-1)=0，极小值为f0=-34 定理3（第二种充分条件）设函数x)在点xo处具有二阶导数且f'(xo)=0, f"(xO)≠0，那么 (1)当"(xo)0时，函数x)在xo处取得极小值； 证明在情形(1)，由于f"(xo)0;当x-x>0即x>xo时，f'(x)0;当x>时，f'(x)<0.根据定理2，x)在点xo处取得极 大值 定理3表明，如果函数x)在驻点xo处的二导数f"(xo)≠0，那么该点xo一定是极值点， 并且可以按二阶导数f"(xo)的符来判定xo)是极大值还是极小值.但如果f"(xo)=0,定理3 就不能应用， 4
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 讨论：函数fx)=-x,gx)=x3在点=0是否有极值？ 提示：f'(x)=4x3,f"(0)=0;f"(x)=12x2,f"(0)=0.但当x0时f'(x)>0,所 以0)为极小值 g'(x)=3x2,g'(0)=0;g"x)=6x,g"(0)=0.但g0)不是极值. 例2求函数x)=(x2-1)3+1的极值 解(1)f'(x)=6x(x2-1)2 (2)令f"x)0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1. (3)f"(x)=6x2-1)(5x2-1). (4)因f"(0)=6>0,所以fx)在x=0处取得极小值，极小值为0)=0. (5)因f"(-1)=∫"(1)=0，用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内∫'x)<0所以x)在 -1处没有极值；同理，x)在1处也没有极值， 二、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎 样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时 可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题 极值与最值的关系： 设函数x)在闭区间[，b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和 最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间（α，b)内 取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值.因此，函数在闭区间[α，b]上的最大值一 定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理，函数在闭区间[α，b]上 的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法： 设x)在(a,b)内的驻点和不可导点（它们是可能的极值点）为x,x2,··,x,则比较 d),x),··,xn),b) 的大小，其中最大的便是函数x)在[a,b]上的最大值，最小的便是函数x)在[a,b]上的最小 值， 例3求函数x)=2-3x+2在[-3,4]上的最大值与最小值. 解fx)= x2-3x+2x∈[-3,1小[2,4] 1-x2+3x-2x∈L,2) -2x6a
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 在(-3,4内，)的驻点为x=多；不可导点为x1和x=2 由于-320，)0，f=4,2)-04-6,比较可得)在x=-3处取得它在[-3,4上 的最大值20，在x=1和=2处取它在[-3,4]上的最小值0. 例4工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为 了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与 公路上每公里货运的运费之比3：5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点 应选在何处？ 100km A B D 20km 解设AD=x(km),则DB=100-x, CD=√202+x2=√400+x2. 设从B点到C点需要的总运费为y,那么 =5kCD+3kDB(k是某个正数)， 即 y=5k√400+x2+3k(100-x)(0≤r≤100). 现在，问题就归结为：x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小， 先求y对x的导数 /=k400+-3).CD=V400+7 5x 解方程y=0,得=15(km). ,1 由于1-400k,l1s=380k,yl-10m=500k1+5, 其中以儿=1s=380k为最小，因此当 AD=x=l5km时，总运费为最省. 例2'工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km.欲修 一条从工厂到铁路的公路CD.已知铁路与公路每公里运费之比为3：5.为了使火车站B与工 厂C间的运费最省，问D点应选在何处？ 解设AD=x(km),B与C间的运费为片，则 6
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 y=5kCD+3kDB=5k√400+x2+3k100-x)(0≤≤100)， 其中k是某一正数. 5x 由y=400+3)-0,得15， 由于小-400k,儿=s=380k,儿mw=50k√+京，其中以H=15=380k为最小，因此当 AD=x=15km时，总运费为最省 注意：x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点xo,并且这个驻点x 是函数x)的极值点，那么，当xo)是极大值时，xo)就是x)在该区间上的最大值；当xo)是 极小值时，xo)就是x)在该区间上的最小值 个y 个y =x) y=fx) Axo) a xo b ）a 6 应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数x)确有最大值或最小值， 而且一定在定义区间内部取得.这时如果x)在定义区间内部只有一个驻点x,那么不必讨 论xo)是否是极值，就可以断定xo)是最大值或最小值. 例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选 择才能使梁的抗弯截面模量W(W=的)最大？ 解b与h有下面的关系： h h2=d2-b2, 因而 W=66-b2)0
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 w君d:-的)在0，内只有一个驻点，所以当b-否d时，W的值最大这时， 加=d-=d-r=号 即 d:h:b=3:√2：l. 解：把W表示成b的函数： W=若6=若u2-b3)0c0 由W=若d-3b)=0,得驻点b=5d. 由于染的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(0) 内部取得；现在函数W在(0，)内只有一个驻点b=3-可d, 所以当6=d时，抗弯截面模量形最大，这时力-Vd。 小记： 1、函数在不可导的点也可能取得极值，需会判断并求之 2、闭区间上的最大值可能在端点，也可能在开区间内部取得。 3、注意实际应用中求最大值问题与函数的唯一驻点之间的关系。 8
